Номер 17.35, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.35, страница 149.

Условие.

17.35. Упростите выражение:

1) $ \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} - \frac{1}{a - b} \cdot \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} ; $

2) $ \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) : \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right) ; $

3) $ \left( \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{ab} + 1} + \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab} - 1} - 1 \right) : \left( \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{ab} + 1} - \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab} - 1} + 1 \right) ; $

4) $ \frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : (a - b) + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} ; $

5) $ \left( \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a-b}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a-b}} \right) : \left( 1 + \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \right) ; $

6) $ \left( \left( \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} \right) : \left( \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - 2 \right) \right) : \left( 1 + \sqrt{\frac{b}{a}} \right), a > 0, b > 0. $

Решение.

1)

Обозначим все выражение как $E$.

$E = \left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} - \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}$

Заметим, что выражение имеет вид $(X - Y) : X = 1 - Y/X$, где $X = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}$ и $Y = \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

Упростим $X$ и $Y$.

$X = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Используем формулу разности квадратов $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ и то, что $(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.

$Y = \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \cdot \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}$

Теперь найдем отношение $Y/X$.

$\frac{Y}{X} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Сокращая общие множители, получаем:

$\frac{Y}{X} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Теперь найдем значение исходного выражения:

$E = 1 - \frac{Y}{X} = 1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

2)

Рассмотрим выражение в первой скобке:

$\sqrt{a}+\sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+2\sqrt{ab}+b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Рассмотрим выражение во второй скобке:

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a-\sqrt{ab} + \sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Выполним деление:

$\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{a+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a+b} = \sqrt{a}$

Ответ: $\sqrt{a}$

3)

Упростим выражение в первой скобке. Сгруппируем последние два слагаемых:

$\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1} - 1 = \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a} - (\sqrt{ab}-1)}{\sqrt{ab}-1} = \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}-1}$

Тогда первая скобка равна:

$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1} + \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}-1} = (\sqrt{a}+1)\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+1} + \frac{1}{\sqrt{ab}-1}\right) = (\sqrt{a}+1)\frac{\sqrt{ab}-1+\sqrt{ab}+1}{(\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-1)} = (\sqrt{a}+1)\frac{2\sqrt{ab}}{ab-1}$

Упростим выражение во второй скобке. Сгруппируем последние два слагаемых:

$-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1} + 1 = -\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1} - 1\right) = -\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}-1}$

Тогда вторая скобка равна:

$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1} - \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}-1} = (\sqrt{a}+1)\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+1} - \frac{1}{\sqrt{ab}-1}\right) = (\sqrt{a}+1)\frac{\sqrt{ab}-1-(\sqrt{ab}+1)}{(\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-1)} = (\sqrt{a}+1)\frac{-2}{ab-1}$

Выполним деление:

$\left((\sqrt{a}+1)\frac{2\sqrt{ab}}{ab-1}\right) : \left((\sqrt{a}+1)\frac{-2}{ab-1}\right) = \frac{2\sqrt{ab}}{-2} = -\sqrt{ab}$

Ответ: $-\sqrt{ab}$

4)

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, затем сложение.

1. Упростим делимое: $\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$. Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=\sqrt{a}$, $y=\sqrt{b}$.

$\frac{(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = a-\sqrt{ab}+b$

2. Выполним деление:

$(a-\sqrt{ab}+b) : (a-b) = \frac{a-\sqrt{ab}+b}{a-b}$

3. Выполним сложение. Приведем дроби к общему знаменателю $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.

$\frac{a-\sqrt{ab}+b}{a-b} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a-\sqrt{ab}+b}{a-b} + \frac{2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

$\frac{a-\sqrt{ab}+b + 2\sqrt{ab}-2b}{a-b} = \frac{a+\sqrt{ab}-b}{a-b}$

Ответ: $\frac{a+\sqrt{ab}-b}{a-b}$

5)

Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}} + \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-b} + \sqrt{a}-\sqrt{a-b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{a-b})(\sqrt{a}+\sqrt{a-b})} = \frac{2\sqrt{a}}{a-(a-b)} = \frac{2\sqrt{a}}{b}$

Упростим выражение во второй скобке:

$1 + \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} = 1 + \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$

Выполним деление:

$\frac{2\sqrt{a}}{b} : \frac{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}} = \frac{2\sqrt{a}}{b} \cdot \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}} = \frac{2\sqrt{a(a-b)}}{b(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b})}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{a(a-b)}}{b(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b})}$

6)

Сначала выполним действие в самых внутренних скобках (деление).

1. Упростим делимое:

$\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}}$

2. Упростим делитель:

$\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - 2 = \frac{a+b}{\sqrt{ab}} - 2 = \frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}$

3. Выполним деление:

$\frac{a-b}{\sqrt{ab}} : \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}} \cdot \frac{\sqrt{ab}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Теперь выполним внешнее деление.

4. Упростим второй делитель:

$1+\sqrt{\frac{b}{a}} = 1+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

5. Выполним финальное деление:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$