Номер 17.34, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.34, страница 149.

Условие.

17.34. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49}\right) : \left(\frac{8\sqrt{a}+41}{a-49} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7}\right) = \sqrt{a}-7;$

2) $\frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \left(\frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27}\right) = \sqrt{a};$

3) $\left(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right) : \left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \frac{2\sqrt{xy}}{x-y}\right) = \sqrt{x}+\sqrt{y};$

4) $\frac{\sqrt{x}-2}{4x-16\sqrt{x}+16} : \left(\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-4} - \frac{x-12}{2x-8} - \frac{2}{x+2\sqrt{x}}\right) = \frac{\sqrt{x}}{4(\sqrt{x}+\sqrt{y})}.$

Решение.

1) Докажем тождество $(\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49}) : \frac{8\sqrt{a}+41}{a-49} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \sqrt{a}-7$.

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Упростим выражение в первых скобках. Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a+14\sqrt{a}+49 = (\sqrt{a}+7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}+7)^2$:
$\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8\sqrt{a}(\sqrt{a}+7) - 15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a + 56\sqrt{a} - 15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a + 41\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2}$.
Вынесем $\sqrt{a}$ за скобки в числителе: $\frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a} + 41)}{(\sqrt{a}+7)^2}$.

2. Выполним деление. Разложим знаменатель делителя на множители: $a-49 = (\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)$.
$\frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a} + 41)}{(\sqrt{a}+7)^2} : \frac{8\sqrt{a}+41}{a-49} = \frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a} + 41)}{(\sqrt{a}+7)^2} \cdot \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{8\sqrt{a}+41}$.
Сократим общие множители $(8\sqrt{a}+41)$ и $(\sqrt{a}+7)$, получим: $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7}$.

3. Выполним сложение с последним слагаемым. В числителе $7\sqrt{a}-49$ вынесем 7 за скобки: $7(\sqrt{a}-7)$.
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7) + 7(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7}$.
Вынесем общий множитель $(\sqrt{a}-7)$ в числителе: $\frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{\sqrt{a}+7}$.
Сократив дробь на $(\sqrt{a}+7)$, получим $\sqrt{a}-7$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot (\frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27}) = \sqrt{a}$.

Преобразуем левую часть. Сначала упростим выражение в скобках.

1. Используем формулу суммы кубов для знаменателя второй дроби: $a\sqrt{a}+27 = (\sqrt{a})^3+3^3 = (\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)$.
$\frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)}$.
Приведем к общему знаменателю $(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)$:
$\frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3) - (\sqrt{ab}-9)}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)} = \frac{(a-9) - (\sqrt{ab}-9)}{a\sqrt{a}+27} = \frac{a-9-\sqrt{ab}+9}{a\sqrt{a}+27} = \frac{a-\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+27}$.
Вынесем $\sqrt{a}$ за скобки в числителе: $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.

2. Теперь выполним умножение:
$\frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.
Сократим одинаковые множители $(a\sqrt{a}+27)$ и $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. В результате остается $\sqrt{a}$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}) : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \frac{2\sqrt{xy}}{x-y}) = \sqrt{x}+\sqrt{y}$.

Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

1. Первое выражение: $\sqrt{x} - \frac{\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.
В числителе дроби вынесем $\sqrt{y}$ за скобки: $\sqrt{xy}+y = \sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Тогда выражение примет вид: $\sqrt{x} - \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$.

2. Второе выражение: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$.
Общий знаменатель $x-y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y}) + \sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - 2\sqrt{xy}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{x-\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+y-2\sqrt{xy}}{x-y} = \frac{x-2\sqrt{xy}+y}{x-y}$.
Числитель является полным квадратом: $x-2\sqrt{xy}+y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$.
Получаем дробь: $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.

3. Выполним деление результата первого действия на результат второго:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) : \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{\sqrt{x}-2}{4x-16\sqrt{x}+16} : (\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-4} - \frac{x-12}{2x-8} - \frac{2}{x+2\sqrt{x}}) = \frac{\sqrt{x}}{4(\sqrt{x}+2)}$.
(Примечание: в правой части исходного задания, вероятно, опечатка, и вместо $\sqrt{y}$ должно быть число 2. Доказательство приведено для исправленного варианта).

Преобразуем левую часть по действиям.

1. Упростим первый множитель (делимое). Знаменатель $4x-16\sqrt{x}+16 = 4(x-4\sqrt{x}+4) = 4(\sqrt{x}-2)^2$.
$\frac{\sqrt{x}-2}{4(\sqrt{x}-2)^2} = \frac{1}{4(\sqrt{x}-2)}$.

2. Упростим выражение в скобках (делитель). Разложим знаменатели на множители:
$2\sqrt{x}-4 = 2(\sqrt{x}-2)$
$2x-8 = 2(x-4) = 2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$
$x+2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+2)$
Общий знаменатель $2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$.
$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}+2) - (x-12)\sqrt{x} - 2 \cdot 2(\sqrt{x}-2)}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{x(\sqrt{x}+2) - (x\sqrt{x}-12\sqrt{x}) - 4(\sqrt{x}-2)}{2\sqrt{x}(x-4)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$x\sqrt{x}+2x - x\sqrt{x}+12\sqrt{x} - 4\sqrt{x}+8 = 2x+8\sqrt{x}+8 = 2(x+4\sqrt{x}+4) = 2(\sqrt{x}+2)^2$.
Тогда вся дробь равна: $\frac{2(\sqrt{x}+2)^2}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}$.

3. Выполним деление:
$\frac{1}{4(\sqrt{x}-2)} : \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} = \frac{1}{4(\sqrt{x}-2)} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}+2}$.
Сократив $(\sqrt{x}-2)$, получим: $\frac{\sqrt{x}}{4(\sqrt{x}+2)}$.

Левая часть тождества равна правой (в исправленном виде). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.