Номер 17.27, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.27, страница 147.

Условие.

17.27. Докажите, что значением выражения является рациональное число:

1) $ \frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}} $;

2) $ \frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}} $.

Решение.

1) Докажем, что значение выражения является рациональным числом. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $\frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}}$

Общий знаменатель для этих дробей — это произведение их знаменателей: $(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})$. Это выражение является разностью квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3}) = 3^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 - (4 \cdot 3) = 9 - 12 = -3$.

Теперь приведем все выражение к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{6(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} + \frac{6(3+2\sqrt{3})}{(3-2\sqrt{3})(3+2\sqrt{3})} = \frac{6(3-2\sqrt{3}) + 6(3+2\sqrt{3})}{-3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18 - 12\sqrt{3} + 18 + 12\sqrt{3}}{-3} = \frac{36}{-3} = -12$

Значение выражения равно -12. Это целое число, а все целые числа являются рациональными. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: -12.

2) Докажем, что значение выражения является рациональным числом. Для этого также приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}}$

Общий знаменатель — это произведение знаменателей $(\sqrt{11}-\sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6})$. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$(\sqrt{11}-\sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{6})^2 = 11 - 6 = 5$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим числители:

$\frac{(\sqrt{11}+\sqrt{6})^2}{(\sqrt{11}-\sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6})} + \frac{(\sqrt{11}-\sqrt{6})^2}{(\sqrt{11}+\sqrt{6})(\sqrt{11}-\sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{6})^2 + (\sqrt{11}-\sqrt{6})^2}{5}$

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\sqrt{11}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 11 + 2\sqrt{66} + 6 = 17 + 2\sqrt{66}$

$(\sqrt{11}-\sqrt{6})^2 = (\sqrt{11})^2 - 2\sqrt{11}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{66} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$

Теперь подставим полученные значения в числитель и упростим выражение:

$\frac{(17 + 2\sqrt{66}) + (17 - 2\sqrt{66})}{5} = \frac{17 + 17 + 2\sqrt{66} - 2\sqrt{66}}{5} = \frac{34}{5}$

Значение выражения равно $\frac{34}{5}$ (или 6,8). Это число является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. Утверждение доказано.

Ответ: $\frac{34}{5}$.