Номер 17.27, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.27, страница 147.
№17.27 (с. 147)
Условие. №17.27 (с. 147)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        17.27. Докажите, что значением выражения является рациональное число:
1) $ \frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}} $;
2) $ \frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}} $.
Решение. №17.27 (с. 147)
1) Докажем, что значение выражения является рациональным числом. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.
Исходное выражение: $\frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}}$
Общий знаменатель для этих дробей — это произведение их знаменателей: $(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})$. Это выражение является разностью квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3}) = 3^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 - (4 \cdot 3) = 9 - 12 = -3$.
Теперь приведем все выражение к общему знаменателю и выполним сложение:
$\frac{6(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} + \frac{6(3+2\sqrt{3})}{(3-2\sqrt{3})(3+2\sqrt{3})} = \frac{6(3-2\sqrt{3}) + 6(3+2\sqrt{3})}{-3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{18 - 12\sqrt{3} + 18 + 12\sqrt{3}}{-3} = \frac{36}{-3} = -12$
Значение выражения равно -12. Это целое число, а все целые числа являются рациональными. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: -12.
2) Докажем, что значение выражения является рациональным числом. Для этого также приведем дроби к общему знаменателю.
Исходное выражение: $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}}$
Общий знаменатель — это произведение знаменателей $(\sqrt{11}-\sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6})$. Воспользуемся формулой разности квадратов:
$(\sqrt{11}-\sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{6})^2 = 11 - 6 = 5$.
Приведем дроби к общему знаменателю и сложим числители:
$\frac{(\sqrt{11}+\sqrt{6})^2}{(\sqrt{11}-\sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6})} + \frac{(\sqrt{11}-\sqrt{6})^2}{(\sqrt{11}+\sqrt{6})(\sqrt{11}-\sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{6})^2 + (\sqrt{11}-\sqrt{6})^2}{5}$
Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(\sqrt{11}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 11 + 2\sqrt{66} + 6 = 17 + 2\sqrt{66}$
$(\sqrt{11}-\sqrt{6})^2 = (\sqrt{11})^2 - 2\sqrt{11}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{66} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$
Теперь подставим полученные значения в числитель и упростим выражение:
$\frac{(17 + 2\sqrt{66}) + (17 - 2\sqrt{66})}{5} = \frac{17 + 17 + 2\sqrt{66} - 2\sqrt{66}}{5} = \frac{34}{5}$
Значение выражения равно $\frac{34}{5}$ (или 6,8). Это число является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. Утверждение доказано.
Ответ: $\frac{34}{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 17.27 расположенного на странице 147 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.27 (с. 147), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    