Номер 17.22, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.22, страница 146.

Условие.

17.22. Найдите значение выражения:

1) $(3\sqrt{2}+1)(\sqrt{8}-2)$;

2) $(3-2\sqrt{7})^2+(3+2\sqrt{7})^2$;

3) $(10-4\sqrt{6})(2+\sqrt{6})^2$;

4) $(\sqrt{9-4\sqrt{2}}+\sqrt{9+4\sqrt{2}})^2$.

Решение.

1) $(3\sqrt{2}+1)(\sqrt{8}-2)$

Сначала упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(3\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-2)$
Теперь раскроем скобки, умножая каждый член первого выражения на каждый член второго (по правилу фонтанчика):
$3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot (-2) + 1 \cdot 2\sqrt{2} + 1 \cdot (-2)$
Выполним умножение:
$3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$
$6 \cdot 2 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$
$12 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(12 - 2) + (-6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 10 - 4\sqrt{2}$

Ответ: $10 - 4\sqrt{2}$

2) $(3-2\sqrt{7})^2 + (3+2\sqrt{7})^2$

Используем формулы сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем каждую скобку:
$(3-2\sqrt{7})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 - 12\sqrt{7} + 4 \cdot 7 = 9 - 12\sqrt{7} + 28 = 37 - 12\sqrt{7}$.
$(3+2\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 + 12\sqrt{7} + 4 \cdot 7 = 9 + 12\sqrt{7} + 28 = 37 + 12\sqrt{7}$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(37 - 12\sqrt{7}) + (37 + 12\sqrt{7}) = 37 + 37 - 12\sqrt{7} + 12\sqrt{7} = 74$.
В качестве альтернативного решения, можно заметить, что выражение имеет вид $(a-b)^2+(a+b)^2$, что равно $(a^2-2ab+b^2)+(a^2+2ab+b^2) = 2a^2+2b^2$.
В нашем случае $a=3$ и $b=2\sqrt{7}$, тогда:
$2(3^2+(2\sqrt{7})^2) = 2(9+4\cdot7) = 2(9+28) = 2(37) = 74$.

Ответ: $74$

3) $(10-4\sqrt{6})(2+\sqrt{6})^2$

Сначала возведем в квадрат вторую скобку, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(2+\sqrt{6})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 + 4\sqrt{6} + 6 = 10 + 4\sqrt{6}$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$(10-4\sqrt{6})(10+4\sqrt{6})$
Получили выражение вида $(a-b)(a+b)$, которое равно разности квадратов $a^2-b^2$.
В данном случае $a=10$ и $b=4\sqrt{6}$.
$10^2 - (4\sqrt{6})^2 = 100 - (4^2 \cdot (\sqrt{6})^2) = 100 - (16 \cdot 6) = 100 - 96 = 4$.

Ответ: $4$

4) $(\sqrt{9-4\sqrt{2}} + \sqrt{9+4\sqrt{2}})^2$

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
В нашем случае $a = \sqrt{9-4\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt{9+4\sqrt{2}}$.
Выражение примет вид:
$(\sqrt{9-4\sqrt{2}})^2 + 2 \cdot \sqrt{9-4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{9+4\sqrt{2}} + (\sqrt{9+4\sqrt{2}})^2$
Упростим первое и третье слагаемые:
$(\sqrt{9-4\sqrt{2}})^2 = 9-4\sqrt{2}$
$(\sqrt{9+4\sqrt{2}})^2 = 9+4\sqrt{2}$
Упростим второе слагаемое. Используем свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$:
$2 \cdot \sqrt{(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2})}$
Выражение под корнем является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2}) = 9^2 - (4\sqrt{2})^2 = 81 - (16 \cdot 2) = 81 - 32 = 49$.
Тогда второе слагаемое равно:
$2 \cdot \sqrt{49} = 2 \cdot 7 = 14$.
Теперь сложим все три упрощенных слагаемых:
$(9-4\sqrt{2}) + 14 + (9+4\sqrt{2})$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9+14+9) + (-4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 32 + 0 = 32$.

Ответ: $32$