Номер 17.19, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.19, страница 146.

Условие.

17.19. Упростите выражение:

1) $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75};$

2) $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9}.$

Решение.

1)

Для того чтобы упростить выражение $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом, чтобы привести их к общему радикалу.

Разложим числа под корнями на множители, выделяя полные квадраты:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$0,5 \cdot (2\sqrt{3}) - 3 \cdot (3\sqrt{3}) + 0,4 \cdot (5\sqrt{3})$

Выполним умножение коэффициентов:

$1\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$

Так как все слагаемые содержат одинаковый корень $\sqrt{3}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(1 - 9 + 2)\sqrt{3} = (-8 + 2)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$

Ответ: $-6\sqrt{3}$

2)

Для упрощения выражения $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9}$ необходимо упростить каждый член выражения. Заметим, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными ($a \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Следовательно, допустимые значения переменной $a > 0$.

Упростим первый член, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{81a^7} = \sqrt{81 \cdot a^6 \cdot a} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{a} = 9 \cdot a^3 \cdot \sqrt{a} = 9a^3\sqrt{a}$

Второй член $5a^3\sqrt{a}$ уже представлен в упрощенном виде.

Упростим третий член:

$\frac{6}{a}\sqrt{a^9} = \frac{6}{a}\sqrt{a^8 \cdot a} = \frac{6}{a} \cdot \sqrt{a^8} \cdot \sqrt{a} = \frac{6}{a} \cdot a^4 \cdot \sqrt{a} = 6a^{4-1}\sqrt{a} = 6a^3\sqrt{a}$

Теперь подставим упрощенные члены обратно в исходное выражение:

$9a^3\sqrt{a} - 5a^3\sqrt{a} + 6a^3\sqrt{a}$

Все слагаемые имеют общий множитель $a^3\sqrt{a}$, поэтому мы можем выполнить действия с их коэффициентами:

$(9 - 5 + 6)a^3\sqrt{a} = (4 + 6)a^3\sqrt{a} = 10a^3\sqrt{a}$

Ответ: $10a^3\sqrt{a}$