Номер 17.20, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.20, страница 146.

Условие.

17.20. Докажите, что:

1) $\sqrt{11+4\sqrt{7}}=\sqrt{7}+2$;

2) $\sqrt{14+8\sqrt{3}}=\sqrt{8}+\sqrt{6}$.

Решение.

1) Для доказательства равенства $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{7} + 2$ достаточно возвести обе его части в квадрат. Это возможно, так как обе части являются положительными числами (арифметический квадратный корень и сумма положительных чисел). Если их квадраты равны, то и сами числа равны.

Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{7} + 2)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7}$.

Полученное выражение $11 + 4\sqrt{7}$ в точности совпадает с подкоренным выражением в левой части. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $\sqrt{14 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{8} + \sqrt{6}$ поступим аналогичным образом. Обе части равенства положительны, поэтому возведем правую часть в квадрат.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{8} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 8 + 2\sqrt{8 \cdot 6} + 6 = 14 + 2\sqrt{48}$.

Упростим получившееся выражение. Для этого преобразуем корень $\sqrt{48}$:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим упрощенное значение обратно:
$14 + 2\sqrt{48} = 14 + 2(4\sqrt{3}) = 14 + 8\sqrt{3}$.

Результат $14 + 8\sqrt{3}$ совпадает с подкоренным выражением в левой части исходного равенства. Следовательно, равенство является верным.
Ответ: Равенство доказано.