Номер 17.15, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.15, страница 146.

Условие.

17.15. Разложите на множители выражение:

1) $49x^2 - 2;$

2) $36p - 64q$, если $p \ge 0$, $q \ge 0$;

3) $c - 100$, если $c \ge 0$;

4) $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2;$

5) $a - 4\sqrt{a} + 4;$

6) $5 + \sqrt{5};$

7) $\sqrt{3p} - p;$

8) $\sqrt{12} + \sqrt{32}.$

Решение.

1) Для разложения на множители выражения $49x^2 - 2$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим каждое слагаемое в виде квадрата: $49x^2 = (7x)^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$.
$49x^2 - 2 = (7x)^2 - (\sqrt{2})^2 = (7x - \sqrt{2})(7x + \sqrt{2})$.
Ответ: $(7x - \sqrt{2})(7x + \sqrt{2})$.

2) В выражении $36p - 64q$ при условии $p \geq 0, q \geq 0$ сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 4.
$36p - 64q = 4(9p - 16q)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $p \geq 0, q \geq 0$ позволяют представить $9p = (3\sqrt{p})^2$ и $16q = (4\sqrt{q})^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$4(9p - 16q) = 4((3\sqrt{p})^2 - (4\sqrt{q})^2) = 4(3\sqrt{p} - 4\sqrt{q})(3\sqrt{p} + 4\sqrt{q})$.
Ответ: $4(3\sqrt{p} - 4\sqrt{q})(3\sqrt{p} + 4\sqrt{q})$.

3) Для выражения $c - 100$ при $c \geq 0$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Так как $c \geq 0$, мы можем записать $c = (\sqrt{c})^2$. Также $100 = 10^2$.
$c - 100 = (\sqrt{c})^2 - 10^2 = (\sqrt{c} - 10)(\sqrt{c} + 10)$.
Ответ: $(\sqrt{c} - 10)(\sqrt{c} + 10)$.

4) Выражение $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2$ является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = \sqrt{a}$ и $y = 4b$. Проверим, соответствует ли средний член формуле: $2xy = 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 4b = 8b\sqrt{a}$.
Таким образом, $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot (4b) + (4b)^2 = (\sqrt{a} - 4b)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 4b)^2$.

5) Выражение $a - 4\sqrt{a} + 4$ является полным квадратом разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = \sqrt{a}$ и $y = 2$. Средний член $2xy = 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 = 4\sqrt{a}$.
Следовательно, $a - 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{a} - 2)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 2)^2$.

6) В выражении $5 + \sqrt{5}$ вынесем общий множитель за скобки. Для этого представим $5$ как $(\sqrt{5})^2$.
$5 + \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + \sqrt{5} \cdot 1$.
Выносим общий множитель $\sqrt{5}$: $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.

7) Для разложения на множители выражения $\sqrt{3p} - p$, вынесем общий множитель. Отметим, что для существования $\sqrt{3p}$ необходимо $p \geq 0$. Представим $\sqrt{3p}$ как $\sqrt{3}\sqrt{p}$ и $p$ как $(\sqrt{p})^2$.
$\sqrt{3p} - p = \sqrt{3}\sqrt{p} - (\sqrt{p})^2$.
Выносим за скобки общий множитель $\sqrt{p}$: $\sqrt{p}(\sqrt{3} - \sqrt{p})$.
Ответ: $\sqrt{p}(\sqrt{3} - \sqrt{p})$.

8) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt{12} + \sqrt{32}$, сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4}\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16}\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Теперь выражение имеет вид: $2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$.
Вынесем общий числовой множитель 2 за скобки: $2(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$.
Ответ: $2(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$.