Номер 17.8, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.8, страница 145.

Условие.

17.8. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$;

2) $(\sqrt{b} - \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})$;

3) $(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 4\sqrt{2})$;

4) $(2 - 3\sqrt{3})^2$.

Решение.

1) Для выполнения умножения $(\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$ раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

Теперь упростим каждое слагаемое в полученном выражении:

$2(\sqrt{2})^2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - 5 = 4 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - 5$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав целые числа и слагаемые с корнем:

$(4 - 5) + (-\sqrt{10} + 2\sqrt{10}) = -1 + \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{10} - 1$.

2) Выражение $(\sqrt{b} - \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})$ является произведением разности и суммы двух одинаковых выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-d)(a+d) = a^2 - d^2$.

В данном случае $a = \sqrt{b}$ и $d = \sqrt{c}$. Применив формулу, получаем:

$(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2 = b - c$

Ответ: $b - c$.

3) В выражении $(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 4\sqrt{2})$ можно заметить, что оно также соответствует формуле разности квадратов. Для наглядности поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$.

Теперь применим формулу $(a-d)(a+d) = a^2 - d^2$, где $a = 4\sqrt{2}$ и $d = 2\sqrt{3}$:

$(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2$

Вычислим значения квадратов:

$16 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 32 - 12 = 20$

Ответ: $20$.

4) Для раскрытия выражения $(2 - 3\sqrt{3})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-d)^2 = a^2 - 2ad + d^2$.

В этом случае $a = 2$ и $d = 3\sqrt{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$2^2 - 2 \cdot 2 \cdot (3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2$

Упростим полученное выражение, вычисляя каждый член:

$4 - 12\sqrt{3} + 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 - 12\sqrt{3} + 9 \cdot 3 = 4 - 12\sqrt{3} + 27$

Сложим числовые члены:

$(4 + 27) - 12\sqrt{3} = 31 - 12\sqrt{3}$

Ответ: $31 - 12\sqrt{3}$.