Номер 17.6, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.6, страница 145.

Условие.

17.6. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a};$

2) $2\sqrt{0.04c} - 0.3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0.81c}.$

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$). Предполагается, что переменная $a$ принимает неотрицательные значения, чтобы выражения под корнем были определены.
Вынесем числовые множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$\sqrt{9a} = \sqrt{9 \cdot a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$
$\sqrt{25a} = \sqrt{25 \cdot a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a} = 5\sqrt{a}$
$\sqrt{49a} = \sqrt{49 \cdot a} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a} = 7\sqrt{a}$
Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:
$3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} - 7\sqrt{a}$
Все слагаемые являются подобными, так как содержат одинаковый множитель $\sqrt{a}$. Сложим и вычтем их коэффициенты:
$(3 + 5 - 7)\sqrt{a} = (8 - 7)\sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

2) Упростим выражение $2\sqrt{0,04c} - 0,3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0,81c}$. Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $c \ge 0$).
Упростим каждый член выражения по отдельности:
$2\sqrt{0,04c} = 2\sqrt{0,04 \cdot c} = 2 \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{c} = 2 \cdot 0,2 \cdot \sqrt{c} = 0,4\sqrt{c}$
$-0,3\sqrt{16c} = -0,3\sqrt{16 \cdot c} = -0,3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{c} = -0,3 \cdot 4 \cdot \sqrt{c} = -1,2\sqrt{c}$
$\frac{1}{3}\sqrt{0,81c} = \frac{1}{3}\sqrt{0,81 \cdot c} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{c} = \frac{1}{3} \cdot 0,9 \cdot \sqrt{c} = \frac{0,9}{3}\sqrt{c} = 0,3\sqrt{c}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$0,4\sqrt{c} - 1,2\sqrt{c} + 0,3\sqrt{c}$
Сгруппируем коэффициенты при подобном слагаемом $\sqrt{c}$:
$(0,4 - 1,2 + 0,3)\sqrt{c} = (-0,8 + 0,3)\sqrt{c} = -0,5\sqrt{c}$
Ответ: $-0,5\sqrt{c}$