Номер 16.38, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.38, страница 140.

Условие.

16.38. Найдите значение выражения

$(\left( \frac{a^2 - 5a}{a^2 - 10a + 25} + \frac{25}{a^2 - 25} \right) : \frac{125 - a^3}{5 + a})$ при $a = 4,5$.

Решение.

Для решения данной задачи сначала упростим алгебраическое выражение, а затем подставим в него заданное значение переменной $a$.

1. Упрощение выражения в скобках

Рассмотрим выражение в скобках: $ \frac{a^2-5a}{a^2-10a+25} + \frac{25}{a^2-25} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):

• $ a^2-5a = a(a-5) $
• $ a^2-10a+25 = (a-5)^2 $
• $ a^2-25 = (a-5)(a+5) $

Подставим полученные выражения обратно в скобки:

$ \frac{a(a-5)}{(a-5)^2} + \frac{25}{(a-5)(a+5)} $

Сократим первую дробь на $ (a-5) $:

$ \frac{a}{a-5} + \frac{25}{(a-5)(a+5)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ (a-5)(a+5) $:

$ \frac{a(a+5)}{(a-5)(a+5)} + \frac{25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)} $

2. Упрощение всего выражения

Исходное выражение теперь имеет вид:

$ \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)} : \frac{125-a^3}{5+a} $

Разложим на множители числитель второй дроби по формуле разности кубов $ x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $:

$ 125-a^3 = 5^3-a^3 = (5-a)(25+5a+a^2) $

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)} \cdot \frac{5+a}{(5-a)(a^2+5a+25)} $

Сократим одинаковые множители $ (a^2+5a+25) $ и $ (a+5) $ (так как $ 5+a=a+5 $):

$ \frac{1}{a-5} \cdot \frac{1}{5-a} $

Заметим, что $ a-5 = -(5-a) $. Подставим это в выражение:

$ \frac{1}{-(5-a)} \cdot \frac{1}{5-a} = -\frac{1}{(5-a)^2} $ или $ -\frac{1}{(a-5)^2} $.

3. Вычисление значения при $ a = 4,5 $

Подставим значение $ a = 4,5 $ в упрощенное выражение $ -\frac{1}{(a-5)^2} $:

$ -\frac{1}{(4,5-5)^2} = -\frac{1}{(-0,5)^2} = -\frac{1}{0,25} $

Поскольку $ 0,25 = \frac{1}{4} $, то:

$ -\frac{1}{1/4} = -1 \cdot 4 = -4 $

Ответ: -4