Номер 16.33, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.33, страница 140.

Условие.

16.33. Решите неравенство:

1) $\sqrt{9x^2 + 6x + 1} \le 1$;

2) $\sqrt{x^2 - 10x + 25} > 4$.

Решение.

1) Решим неравенство $\sqrt{9x^2 + 6x + 1} \le 1$.

Заметим, что выражение под знаком корня является полным квадратом суммы:

$9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x + 1)^2$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\sqrt{(3x + 1)^2} \le 1$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем неравенство с модулем:

$|3x + 1| \le 1$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1 \le 3x + 1 \le 1$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1 - 1 \le 3x \le 1 - 1$

$-2 \le 3x \le 0$.

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{2}{3} \le x \le 0$.

Таким образом, решение неравенства представляет собой отрезок.

Ответ: $[-\frac{2}{3}; 0]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 10x + 25} > 4$.

Заметим, что выражение под знаком корня является полным квадратом разности:

$x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$.

Перепишем исходное неравенство:

$\sqrt{(x - 5)^2} > 4$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|x - 5| > 4$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 5 > 4$ или $x - 5 < -4$.

Решим каждое из этих неравенств.

Первое неравенство:

$x - 5 > 4$

$x > 9$.

Второе неравенство:

$x - 5 < -4$

$x < 1$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (9; +\infty)$.