Номер 16.30, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.30, страница 140.

Условие.

16.30. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2} = x - 4;$

2) $\sqrt{x^2} = 6 - x;$

3) $2\sqrt{x^2} = x + 3;$

4) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 2x - 5.$

Решение.

1) $\sqrt{x^2} = x - 4$

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому уравнение можно переписать в виде $|x| = x - 4$. Левая часть уравнения, $|x|$, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $x - 4 \ge 0$, что означает $x \ge 4$. Если $x \ge 4$, то $x > 0$, и $|x| = x$. Подставив это в уравнение, получаем $x = x - 4$, что упрощается до $0 = -4$. Это неверное равенство, значит, решений, удовлетворяющих условию $x \ge 4$, нет. Таким образом, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

2) $\sqrt{x^2} = 6 - x$

Заменив $\sqrt{x^2}$ на $|x|$, получим уравнение $|x| = 6 - x$. Из того, что $|x| \ge 0$, следует, что $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = 6 - x$, откуда $2x = 6$ и $x = 3$. Это решение удовлетворяет условиям $x \ge 0$ и $x \le 6$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = 6 - x$, откуда $0 = 6$. Это неверное равенство, поэтому в этом случае решений нет.
Единственным решением является $x=3$.

Ответ: 3.

3) $2\sqrt{x^2} = x + 3$

Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, уравнение принимает вид $2|x| = x + 3$. Правая часть должна быть неотрицательной: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Раскроем модуль.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение становится $2x = x + 3$, откуда $x = 3$. Это решение удовлетворяет условиям $x \ge 0$ и $x \ge -3$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение становится $2(-x) = x + 3$, или $-2x = x + 3$. Отсюда $-3x = 3$ и $x = -1$. Это решение удовлетворяет условиям $x < 0$ и $x \ge -3$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 3.

4) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 2x - 5$

Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Тогда уравнение можно переписать как $\sqrt{(x-2)^2} = 2x - 5$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|x-2| = 2x - 5$. Левая часть неотрицательна, поэтому $2x - 5 \ge 0$, что дает $x \ge 2.5$. При $x \ge 2.5$ выражение $x-2$ положительно, поэтому $|x-2| = x-2$. Уравнение упрощается до $x-2 = 2x-5$. Решая его, находим $x = 3$. Найденный корень $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge 2.5$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Ответ: 3.