Номер 16.32, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.32, страница 140.

Условие.

16.32. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x^2+6x+9} < 2;$

2) $\sqrt{x^2-2x+1} \geq 3.$

Решение.

1)

Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 + 6x + 9} < 2$.

Заметим, что выражение под корнем представляет собой полный квадрат суммы: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

Подставим это в неравенство:

$\sqrt{(x + 3)^2} < 2$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем неравенство с модулем:

$|x + 3| < 2$.

Данное неравенство равносильно системе неравенств или двойному неравенству:

$-2 < x + 3 < 2$.

Чтобы найти $x$, вычтем 3 из всех частей двойного неравенства:

$-2 - 3 < x < 2 - 3$.

$-5 < x < -1$.

Решением неравенства является интервал $(-5; -1)$.

Ответ: $(-5; -1)$.

2)

Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 2x + 1} \ge 3$.

Выражение под корнем является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

Перепишем неравенство в виде:

$\sqrt{(x - 1)^2} \ge 3$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, перейдем к неравенству с модулем:

$|x - 1| \ge 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 1 \ge 3$ или $x - 1 \le -3$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$x - 1 \ge 3$

$x \ge 3 + 1$

$x \ge 4$.

Второе неравенство:

$x - 1 \le -3$

$x \le -3 + 1$

$x \le -2$.

Объединяя полученные решения, получаем множество $x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.