Номер 16.27, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.27, страница 139.

Условие.

16.27. При каких значениях a выполняется равенство:

1) $\sqrt{a^{10}} = a^5;$

2) $\sqrt{a^{10}} = -a^5;$

3) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2;$

4) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2;$

5) $\sqrt{(a+1)^2} = -a-1;$

6) $\sqrt{(1-a)^{10}} = (1-a)^5;$

7) $\sqrt{(a-2)(a-3)} = \sqrt{2-a} \cdot \sqrt{3-a};$

8) $\sqrt{a(a+1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1}?$

Решение.

1) Равенство: $\sqrt{a^{10}} = a^5$.
Левая часть равенства преобразуется с использованием свойства $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2} = |a^5|$.
Таким образом, исходное равенство принимает вид: $|a^5| = a^5$.
Равенство вида $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$.
В нашем случае $x = a^5$, следовательно, должно выполняться условие $a^5 \ge 0$.
Это неравенство справедливо при $a \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$.

2) Равенство: $\sqrt{a^{10}} = -a^5$.
Левая часть равенства: $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2} = |a^5|$.
Исходное равенство принимает вид: $|a^5| = -a^5$.
Равенство вида $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \le 0$.
В нашем случае $x = a^5$, следовательно, должно выполняться условие $a^5 \le 0$.
Это неравенство справедливо при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

3) Равенство: $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для правой части $(\sqrt{a})^2$ определяется условием $a \ge 0$. При этом условии $(\sqrt{a})^2 = a$.
Левая часть равенства: $\sqrt{a^2} = |a|$.
С учетом ОДЗ ($a \ge 0$), исходное равенство принимает вид: $|a| = a$.
Так как $a \ge 0$, то $|a| = a$. Равенство $a = a$ является тождеством.
Следовательно, исходное равенство выполняется для всех $a$ из области допустимых значений, то есть при $a \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$.

4) Равенство: $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для правой части $(\sqrt{-a})^2$ определяется условием $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$. При этом условии $(\sqrt{-a})^2 = -a$.
Левая часть равенства: $\sqrt{a^2} = |a|$.
С учетом ОДЗ ($a \le 0$), исходное равенство принимает вид: $|a| = -a$.
Так как $a \le 0$, то $|a| = -a$. Равенство $-a = -a$ является тождеством.
Следовательно, исходное равенство выполняется для всех $a$ из области допустимых значений, то есть при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

5) Равенство: $\sqrt{(a+1)^2} = -a-1$.
Левая часть равенства: $\sqrt{(a+1)^2} = |a+1|$.
Правую часть можно записать как $-(a+1)$.
Исходное равенство принимает вид: $|a+1| = -(a+1)$.
Равенство вида $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \le 0$.
В нашем случае $x = a+1$, следовательно, должно выполняться условие $a+1 \le 0$.
Отсюда получаем $a \le -1$.
Ответ: $a \le -1$.

6) Равенство: $\sqrt{(1-a)^{10}} = (1-a)^5$.
Левая часть равенства: $\sqrt{(1-a)^{10}} = \sqrt{((1-a)^5)^2} = |(1-a)^5|$.
Исходное равенство принимает вид: $|(1-a)^5| = (1-a)^5$.
Равенство вида $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$.
В нашем случае $x = (1-a)^5$, следовательно, должно выполняться условие $(1-a)^5 \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $1-a \ge 0$, откуда $a \le 1$.
Ответ: $a \le 1$.

7) Равенство: $\sqrt{(a-2)(a-3)} = \sqrt{2-a} \cdot \sqrt{3-a}$.
Данное равенство основано на свойстве корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$, которое верно только при $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
В нашем случае, чтобы правая часть была определена, должны выполняться условия:
$2-a \ge 0 \implies a \le 2$
$3-a \ge 0 \implies a \le 3$
Пересечением этих условий является $a \le 2$.
При $a \le 2$ оба подкоренных выражения в правой части неотрицательны, и свойство можно применить. Давайте проверим левую часть.
$(a-2)(a-3) = (-(2-a))(-(3-a)) = (2-a)(3-a)$.
Так как при $a \le 2$ множители $2-a$ и $3-a$ неотрицательны, их произведение также неотрицательно. Левая часть определена.
Тогда равенство принимает вид $\sqrt{(2-a)(3-a)} = \sqrt{2-a} \cdot \sqrt{3-a}$, что является тождеством при $a \le 2$.
Таким образом, равенство выполняется при $a \le 2$.
Ответ: $a \le 2$.

8) Равенство: $\sqrt{a(a+1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1}$.
Это равенство, как и предыдущее, является свойством корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$, которое верно при $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Для того, чтобы правая часть равенства была определена, должны одновременно выполняться условия:
$a \ge 0$
$a+1 \ge 0 \implies a \ge -1$
Пересечением этих двух условий является $a \ge 0$.
При $a \ge 0$ левая часть $\sqrt{a(a+1)}$ также определена, так как произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно.
Таким образом, равенство выполняется, когда оба множителя под корнями в правой части неотрицательны, то есть при $a \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$.