Номер 16.21, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.21, страница 138.

Условие.

16.21. Решите уравнение $\sqrt{x^6} = -x.$

Решение.

Дано уравнение $\sqrt{x^6} = -x$.

По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x^6} \ge 0$. Это означает, что правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$-x \ge 0$

Умножив обе части этого неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, мы найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$:

$x \le 0$

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся свойством корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Представим подкоренное выражение $x^6$ в виде $(x^3)^2$:

$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению:

$|x^3| = -x$

Теперь необходимо раскрыть модуль, учитывая ОДЗ ($x \le 0$). Если $x$ — неположительное число, то его нечетная степень $x^3$ также будет неположительной ($x^3 \le 0$). По определению модуля, если выражение под модулем неположительно, то его модуль равен противоположному выражению: $|a| = -a$ при $a \le 0$. Следовательно:

$|x^3| = -x^3$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$-x^3 = -x$

Умножим обе части на $-1$:

$x^3 = x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное уравнение:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов для выражения в скобках $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три возможных корня:

$x_1 = 0$;
$x_2 - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$;
$x_3 + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \le 0$):

1. Корень $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le 0$.
2. Корень $x = 1$ не удовлетворяет условию $1 \le 0$, следовательно, это посторонний корень.
3. Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $-1 \le 0$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются числа $0$ и $-1$.

Ответ: $0; -1$.