Номер 16.18, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.18, страница 138.

Условие.

16.18. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

1) $1,2\sqrt{x^2}$;

2) $\sqrt{y^4}$;

3) $\sqrt{n^{10}}$.

Решение.

1)

Чтобы заменить выражение $1,2\sqrt{x^2}$ тождественно равным, не содержащим знака корня, используем основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Применение этого свойства к нашему выражению дает:

$1,2\sqrt{x^2} = 1,2 \cdot |x|$

Знак модуля $|x|$ необходим, потому что переменная $x$ может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулем), а результат извлечения арифметического квадратного корня всегда неотрицателен. Например, если $x = -5$, то $1,2\sqrt{(-5)^2} = 1,2\sqrt{25} = 1,2 \cdot 5 = 6$. Наш результат $1,2|-5| = 1,2 \cdot 5 = 6$ также верен.

Ответ: $1,2|x|$

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{y^4}$. Чтобы избавиться от корня, представим подкоренное выражение в виде квадрата другого выражения. Мы знаем, что $y^4 = (y^2)^2$.

Теперь применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где в качестве $a$ выступает $y^2$:

$\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$

Поскольку квадрат любого действительного числа $y$ всегда является неотрицательным числом ($y^2 \ge 0$), то модуль от $y^2$ равен самому $y^2$. Следовательно, знак модуля можно опустить.

$|y^2| = y^2$

Ответ: $y^2$

3)

Упростим выражение $\sqrt{n^{10}}$. Как и в предыдущем примере, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $n^{10} = (n^5)^2$.

Далее используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, подставляя $a = n^5$:

$\sqrt{n^{10}} = \sqrt{(n^5)^2} = |n^5|$

В этом случае знак модуля убирать нельзя. Если $n$ — отрицательное число, то $n^5$ (нечетная степень) также будет отрицательным. Например, если $n = -2$, то $\sqrt{(-2)^{10}} = \sqrt{1024} = 32$. Наш результат дает $|(-2)^5| = |-32| = 32$, что является верным. Без модуля мы бы получили неверный ответ $-32$.

Ответ: $|n^5|$