Номер 16.12, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.12, страница 138.
№16.12 (с. 138)
Условие. №16.12 (с. 138)
скриншот условия
 
                                16.12. При каких значениях переменных выполняется равенство:
1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$;
2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$;
3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$?
Решение. №16.12 (с. 138)
1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
Данное равенство является свойством арифметического квадратного корня. Чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы все выражения под знаком корня были определены, то есть были неотрицательны.
Рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) для каждой части равенства:
- Для левой части $\sqrt{ab}$ необходимо, чтобы $ab \ge 0$. Это условие выполняется, когда переменные $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или равны нулю: ($a \ge 0$ и $b \ge 0$) или ($a \le 0$ и $b \le 0$).
- Для правой части $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ необходимо, чтобы каждый из корней существовал, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Для того чтобы равенство было верным, должны выполняться условия для обеих его частей одновременно. Найдём пересечение этих условий: ($a \ge 0$ и $b \ge 0$).
Ответ: $a \ge 0, b \ge 0$.
2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$
Определим ОДЗ для обеих частей равенства:
- Для левой части $\sqrt{ab}$ необходимо, чтобы $ab \ge 0$. Это выполняется при ($a \ge 0$ и $b \ge 0$) или ($a \le 0$ и $b \le 0$).
- Для правой части $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$ необходимо, чтобы $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$, что равносильно условиям $a \le 0$ и $b \le 0$.
Совмещая условия для левой и правой частей, получаем, что равенство может выполняться только при $a \le 0$ и $b \le 0$. При этих условиях равенство действительно является тождеством, так как $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)}$, и по свойству корня для неотрицательных сомножителей ($-a \ge 0$ и $-b \ge 0$) получаем $\sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.
Ответ: $a \le 0, b \le 0$.
3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$
Рассмотрим ОДЗ для каждой части равенства:
- Для левой части $\sqrt{-ab}$ требуется, чтобы $-ab \ge 0$, то есть $ab \le 0$. Это выполняется, когда переменные $a$ и $b$ имеют разные знаки или хотя бы одна из них равна нулю: ($a \ge 0$ и $b \le 0$) или ($a \le 0$ и $b \ge 0$).
- Для правой части $\sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$ требуется, чтобы $a \ge 0$ и $-b \ge 0$, что равносильно $a \ge 0$ и $b \le 0$.
Общим условием, при котором обе части равенства определены, является $a \ge 0$ и $b \le 0$. При этих условиях равенство является тождеством: $\sqrt{-ab} = \sqrt{a(-b)}$, и так как $a \ge 0$ и $-b \ge 0$, то по свойству корня $\sqrt{a(-b)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$.
Ответ: $a \ge 0, b \le 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 16.12 расположенного на странице 138 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.12 (с. 138), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    