Номер 16.12, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.12, страница 138.

Условие.

16.12. При каких значениях переменных выполняется равенство:

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$;

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$;

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$?

Решение.

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
Данное равенство является свойством арифметического квадратного корня. Чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы все выражения под знаком корня были определены, то есть были неотрицательны.
Рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) для каждой части равенства:

• Для левой части $\sqrt{ab}$ необходимо, чтобы $ab \ge 0$. Это условие выполняется, когда переменные $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или равны нулю: ($a \ge 0$ и $b \ge 0$) или ($a \le 0$ и $b \le 0$).
• Для правой части $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ необходимо, чтобы каждый из корней существовал, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Для того чтобы равенство было верным, должны выполняться условия для обеих его частей одновременно. Найдём пересечение этих условий: ($a \ge 0$ и $b \ge 0$).
Ответ: $a \ge 0, b \ge 0$.

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$
Определим ОДЗ для обеих частей равенства:

• Для левой части $\sqrt{ab}$ необходимо, чтобы $ab \ge 0$. Это выполняется при ($a \ge 0$ и $b \ge 0$) или ($a \le 0$ и $b \le 0$).
• Для правой части $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$ необходимо, чтобы $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$, что равносильно условиям $a \le 0$ и $b \le 0$.

Совмещая условия для левой и правой частей, получаем, что равенство может выполняться только при $a \le 0$ и $b \le 0$. При этих условиях равенство действительно является тождеством, так как $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)}$, и по свойству корня для неотрицательных сомножителей ($-a \ge 0$ и $-b \ge 0$) получаем $\sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.
Ответ: $a \le 0, b \le 0$.

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$
Рассмотрим ОДЗ для каждой части равенства:

• Для левой части $\sqrt{-ab}$ требуется, чтобы $-ab \ge 0$, то есть $ab \le 0$. Это выполняется, когда переменные $a$ и $b$ имеют разные знаки или хотя бы одна из них равна нулю: ($a \ge 0$ и $b \le 0$) или ($a \le 0$ и $b \ge 0$).
• Для правой части $\sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$ требуется, чтобы $a \ge 0$ и $-b \ge 0$, что равносильно $a \ge 0$ и $b \le 0$.

Общим условием, при котором обе части равенства определены, является $a \ge 0$ и $b \le 0$. При этих условиях равенство является тождеством: $\sqrt{-ab} = \sqrt{a(-b)}$, и так как $a \ge 0$ и $-b \ge 0$, то по свойству корня $\sqrt{a(-b)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$.
Ответ: $a \ge 0, b \le 0$.