Номер 16.7, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.7, страница 137.

Условие.

16.7. Сравните числа:

1) $\sqrt{\frac{17}{4}}$ и 2;

2) 5 и $\sqrt{26}$;

3) $\sqrt{\frac{6}{7}}$ и 1;

4) -7 и $-\sqrt{48}$;

5) $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$;

6) $\sqrt{41}$ и $2\sqrt{10}$.

Решение.

1) Сравнить $\sqrt{\frac{17}{4}}$ и 2.

Для сравнения двух положительных чисел можно сравнить их квадраты. Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{\frac{17}{4}})^2 = \frac{17}{4}$

$2^2 = 4$

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{17}{4}$ и 4. Представим $\frac{17}{4}$ в виде десятичной дроби:

$\frac{17}{4} = 4.25$

Поскольку $4.25 > 4$, то и $\frac{17}{4} > 4$.

Так как квадраты чисел находятся в таком же соотношении, как и сами положительные числа, то $\sqrt{\frac{17}{4}} > 2$.

Ответ: $\sqrt{\frac{17}{4}} > 2$.

2) Сравнить 5 и $\sqrt{26}$.

Оба числа положительные, поэтому для сравнения возведем их в квадрат:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{26})^2 = 26$

Сравниваем результаты: $25 < 26$.

Следовательно, $5 < \sqrt{26}$.

Ответ: $5 < \sqrt{26}$.

3) Сравнить $\sqrt{\frac{6}{7}}$ и 1.

Оба числа положительные. Возведем их в квадрат:

$(\sqrt{\frac{6}{7}})^2 = \frac{6}{7}$

$1^2 = 1$

Сравниваем дробь $\frac{6}{7}$ с 1. Так как числитель (6) меньше знаменателя (7), то дробь меньше единицы: $\frac{6}{7} < 1$.

Следовательно, $\sqrt{\frac{6}{7}} < 1$.

Ответ: $\sqrt{\frac{6}{7}} < 1$.

4) Сравнить -7 и $-\sqrt{48}$.

Оба числа отрицательные. Для их сравнения сначала сравним их модули (абсолютные величины): $|-7| = 7$ и $|-\sqrt{48}| = \sqrt{48}$.

Чтобы сравнить 7 и $\sqrt{48}$, возведем их в квадрат:

$7^2 = 49$

$(\sqrt{48})^2 = 48$

Поскольку $49 > 48$, то $7 > \sqrt{48}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $7 > \sqrt{48}$, то $-7 < -\sqrt{48}$.

Ответ: $-7 < -\sqrt{48}$.

5) Сравнить $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$.

Оба числа положительные. Для удобства сравнения внесем множители под знак корня:

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$

Теперь сравним подкоренные выражения: 18 и 12. Так как $18 > 12$, то и $\sqrt{18} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$.

6) Сравнить $\sqrt{41}$ и $2\sqrt{10}$.

Оба числа положительные. Внесем множитель второго числа под знак корня:

$2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$

Теперь сравним $\sqrt{41}$ и $\sqrt{40}$.

Так как подкоренное выражение 41 больше, чем 40, то $\sqrt{41} > \sqrt{40}$.

Следовательно, $\sqrt{41} > 2\sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{41} > 2\sqrt{10}$.