Номер 16.9, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.9, страница 137.

Условие.

16.9. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{3}$;

3) $\sqrt{5}$;

4) $\sqrt{7}$;

5) $\sqrt{13}$;

6) $\sqrt{0,98}$;

7) $-\sqrt{10}$;

8) $-\sqrt{115}?$

Решение.

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt{2}$, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 2.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$.
Так как $1 < 2 < 4$, то можно записать неравенство: $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$.
Из этого следует, что $1 < \sqrt{2} < 2$.
Следовательно, число $\sqrt{2}$ находится между числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

2) Для числа $\sqrt{3}$ найдем два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 3.
Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$.
Поскольку $1 < 3 < 4$, мы можем написать неравенство $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$.
Это означает, что $1 < \sqrt{3} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt{3}$ находится между числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

3) Для числа $\sqrt{5}$ ищем два последовательных целых числа, чьи квадраты находятся по обе стороны от 5.
Рассмотрим квадраты: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$.
Так как $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$.
Следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$.
Число $\sqrt{5}$ находится между числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

4) Для числа $\sqrt{7}$ ищем два последовательных целых числа, чьи квадраты находятся по обе стороны от 7.
Рассмотрим квадраты: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$.
Так как $4 < 7 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$.
Следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$.
Число $\sqrt{7}$ находится между числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

5) Для числа $\sqrt{13}$ найдем целые числа, квадраты которых близки к 13.
Рассмотрим $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Поскольку $9 < 13 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$.
Отсюда $3 < \sqrt{13} < 4$.
Значит, число $\sqrt{13}$ находится между 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

6) Для числа $\sqrt{0.98}$ рассмотрим квадраты целых чисел.
Рассмотрим $0^2 = 0$ и $1^2 = 1$.
Поскольку $0 < 0.98 < 1$, то $\sqrt{0} < \sqrt{0.98} < \sqrt{1}$.
Отсюда $0 < \sqrt{0.98} < 1$.
Значит, число $\sqrt{0.98}$ находится между 0 и 1.
Ответ: 0 и 1.

7) Для отрицательного числа $-\sqrt{10}$ сначала определим, между какими целыми числами находится $\sqrt{10}$.
Рассмотрим квадраты: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Так как $9 < 10 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, что означает $3 < \sqrt{10} < 4$.
Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-3 > -\sqrt{10} > -4$.
Запишем это в привычном порядке (от меньшего к большему): $-4 < -\sqrt{10} < -3$.
Следовательно, число $-\sqrt{10}$ находится между числами -4 и -3.
Ответ: -4 и -3.

8) Для отрицательного числа $-\sqrt{115}$ сначала определим, между какими целыми числами находится $\sqrt{115}$.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$.
Так как $100 < 115 < 121$, то $\sqrt{100} < \sqrt{115} < \sqrt{121}$, что означает $10 < \sqrt{115} < 11$.
Теперь умножим все части неравенства на -1, меняя знаки неравенства:
$-10 > -\sqrt{115} > -11$.
Запишем в порядке возрастания: $-11 < -\sqrt{115} < -10$.
Следовательно, число $-\sqrt{115}$ находится между числами -11 и -10.
Ответ: -11 и -10.