Номер 16.14, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.14, страница 138.

Условие.

16.14. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{3,6 \cdot 0,4}$;

2) $\sqrt{14,4 \cdot 0,9}$;

3) $\sqrt{12,5 \cdot 32}$;

4) $\sqrt{108 \cdot 27}$.

Решение.

1) $\sqrt{3,6 \cdot 0,4}$

Для решения можно сначала выполнить умножение подкоренных выражений, а затем извлечь корень.

$3,6 \cdot 0,4 = 1,44$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{1,44} = 1,2$ (так как $1,2^2 = 1,44$)

Другой способ — использовать свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, предварительно преобразовав множители:

$\sqrt{3,6 \cdot 0,4} = \sqrt{36 \cdot 0,1 \cdot 4 \cdot 0,1} = \sqrt{36 \cdot 4 \cdot 0,01} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{0,01} = 6 \cdot 2 \cdot 0,1 = 1,2$

Ответ: 1,2

2) $\sqrt{14,4 \cdot 0,9}$

Сначала вычислим произведение чисел под знаком корня:

$14,4 \cdot 0,9 = 12,96$

Теперь найдем квадратный корень из полученного числа:

$\sqrt{12,96} = 3,6$ (так как $3,6^2 = 12,96$)

Другой способ — разложить на множители:

$\sqrt{14,4 \cdot 0,9} = \sqrt{144 \cdot 0,1 \cdot 9 \cdot 0,1} = \sqrt{144 \cdot 9 \cdot 0,01} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{0,01} = 12 \cdot 3 \cdot 0,1 = 3,6$

Ответ: 3,6

3) $\sqrt{12,5 \cdot 32}$

Для удобства вычислений преобразуем произведение под корнем. Умножим первый множитель на 2, а второй разделим на 2, значение произведения при этом не изменится:

$12,5 \cdot 32 = (12,5 \cdot 2) \cdot (32 : 2) = 25 \cdot 16 = 400$

Теперь извлечем корень из результата:

$\sqrt{400} = 20$

Можно также воспользоваться свойством корня из произведения:

$\sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} = 5 \cdot 4 = 20$

Ответ: 20

4) $\sqrt{108 \cdot 27}$

Чтобы не перемножать большие числа, разложим их на удобные множители. Заметим, что 108 делится на 4 и на 3.

$108 = 4 \cdot 27$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{108 \cdot 27} = \sqrt{(4 \cdot 27) \cdot 27} = \sqrt{4 \cdot 27^2}$

Теперь, используя свойство корня из произведения, извлечем корень:

$\sqrt{4 \cdot 27^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{27^2} = 2 \cdot 27 = 54$

Другой способ разложения:

$108 = 36 \cdot 3$

$\sqrt{108 \cdot 27} = \sqrt{36 \cdot 3 \cdot 27} = \sqrt{36 \cdot 81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{81} = 6 \cdot 9 = 54$

Ответ: 54