Номер 16.13, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.13, страница 138.

Условие.

16.13. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{3,6 \cdot 14,4}$;

2) $\sqrt{75 \cdot 48}$;

3) $\sqrt{4,5 \cdot 72}$;

4) $\sqrt{2,7 \cdot 1,2}$.

Решение.

1)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{3,6 \cdot 14,4}$ представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов. Заметим, что $14,4 = 4 \cdot 3,6$.

$\sqrt{3,6 \cdot 14,4} = \sqrt{3,6 \cdot (4 \cdot 3,6)} = \sqrt{(3,6)^2 \cdot 4} = \sqrt{(3,6)^2 \cdot 2^2}$

Теперь, когда подкоренное выражение представлено как произведение квадратов, извлечем корень:

$\sqrt{(3,6)^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(3,6 \cdot 2)^2} = \sqrt{(7,2)^2} = 7,2$

Ответ: 7,2

2)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{75 \cdot 48}$ разложим числа под корнем на множители, чтобы выделить квадраты.

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$

$48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$

Тогда подкоренное выражение можно записать в виде произведения квадратов:

$75 \cdot 48 = (5^2 \cdot 3) \cdot (4^2 \cdot 3) = 5^2 \cdot 4^2 \cdot 3^2$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{5^2 \cdot 4^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(5 \cdot 4 \cdot 3)^2} = \sqrt{60^2} = 60$

Ответ: 60

3)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{4,5 \cdot 72}$ преобразуем подкоренное выражение так, чтобы получить произведение целых чисел, являющихся квадратами. Для этого умножим первый множитель на 2, а второй разделим на 2 (произведение при этом не изменится):

$4,5 \cdot 72 = (4,5 \cdot 2) \cdot (72 : 2) = 9 \cdot 36$

Представим полученные числа в виде квадратов:

$\sqrt{9 \cdot 36} = \sqrt{3^2 \cdot 6^2}$

Извлечем корень из произведения квадратов:

$\sqrt{3^2 \cdot 6^2} = \sqrt{(3 \cdot 6)^2} = \sqrt{18^2} = 18$

Ответ: 18

4)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{2,7 \cdot 1,2}$ разложим подкоренные множители так, чтобы выделить квадраты рациональных чисел.

$2,7 = 27 \cdot 0,1 = (9 \cdot 3) \cdot 0,1 = 3^2 \cdot 3 \cdot 0,1$

$1,2 = 12 \cdot 0,1 = (4 \cdot 3) \cdot 0,1 = 2^2 \cdot 3 \cdot 0,1$

Перемножим эти выражения под корнем:

$\sqrt{(3^2 \cdot 3 \cdot 0,1) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 0,1)} = \sqrt{3^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot (0,1)^2}$

Теперь извлечем корень из произведения квадратов:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot (0,1)^2} = \sqrt{(3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0,1)^2} = \sqrt{(18 \cdot 0,1)^2} = \sqrt{(1,8)^2} = 1,8$

Ответ: 1,8