Номер 16.20, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.20, страница 138.

Условие.

16.20. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{5}-4)^2};$

2) $\sqrt{(2-\sqrt{6})^2} - \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2}.$

Решение.

1) Упростите выражение $ \sqrt{(\sqrt{5}-4)^2} $.

Основное свойство, которое мы будем использовать, это $ \sqrt{a^2} = |a| $, где $ |a| $ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$ \sqrt{(\sqrt{5}-4)^2} = |\sqrt{5}-4| $

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $ \sqrt{5}-4 $. Для этого сравним числа $ \sqrt{5} $ и $ 4 $. Сравним их квадраты:

$ (\sqrt{5})^2 = 5 $

$ 4^2 = 16 $

Поскольку $ 5 < 16 $, то $ \sqrt{5} < \sqrt{16} $, а значит $ \sqrt{5} < 4 $.

Следовательно, разность $ \sqrt{5}-4 $ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно ( $ a < 0 $ ), то $ |a| = -a $. Применяем это правило:

$ |\sqrt{5}-4| = -(\sqrt{5}-4) = -\sqrt{5} + 4 = 4-\sqrt{5} $

Ответ: $ 4-\sqrt{5} $

2) Упростите выражение $ \sqrt{(2-\sqrt{6})^2} - \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} $.

Мы будем упрощать каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $.

$ \sqrt{(2-\sqrt{6})^2} - \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} = |2-\sqrt{6}| - |\sqrt{6}-1| $

Сначала разберемся с первым модулем $ |2-\sqrt{6}| $. Определим знак выражения $ 2-\sqrt{6} $. Сравним квадраты чисел $ 2 $ и $ \sqrt{6} $:

$ 2^2 = 4 $

$ (\sqrt{6})^2 = 6 $

Так как $ 4 < 6 $, то $ 2 < \sqrt{6} $. Значит, выражение $ 2-\sqrt{6} $ отрицательно.

Следовательно, $ |2-\sqrt{6}| = -(2-\sqrt{6}) = -2 + \sqrt{6} = \sqrt{6}-2 $.

Теперь разберемся со вторым модулем $ |\sqrt{6}-1| $. Определим знак выражения $ \sqrt{6}-1 $. Сравним квадраты чисел $ \sqrt{6} $ и $ 1 $:

$ (\sqrt{6})^2 = 6 $

$ 1^2 = 1 $

Так как $ 6 > 1 $, то $ \sqrt{6} > 1 $. Значит, выражение $ \sqrt{6}-1 $ положительно.

Следовательно, $ |\sqrt{6}-1| = \sqrt{6}-1 $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное равенство:

$ |2-\sqrt{6}| - |\sqrt{6}-1| = (\sqrt{6}-2) - (\sqrt{6}-1) $

Раскроем скобки и выполним вычитание:

$ \sqrt{6}-2 - \sqrt{6} + 1 = (\sqrt{6}-\sqrt{6}) + (-2+1) = 0 - 1 = -1 $

Ответ: $ -1 $