Номер 16.22, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.22, страница 138.

Условие.

16.22. Упростите выражение:

1) $\sqrt{m^2}$, если $m > 0$;

2) $\sqrt{n^2}$, если $n < 0$;

3) $\sqrt{16p^2}$, если $p \ge 0$;

4) $\sqrt{0.36k^2}$, если $k \le 0$;

5) $\sqrt{c^{12}};$

6) $\sqrt{0.25b^{14}}$, если $b \le 0$;

7) $\sqrt{81x^4y^2}$, если $y \ge 0$;

8) $\sqrt{0.01a^6b^{10}}$, если $a \le 0, b \ge 0$;

9) $-1.2x\sqrt{64x^{18}}$, если $x < 0$;

10) $-0.5m^5\sqrt{1.96m^6n^8}$, если $m \le 0$.

Решение.

1) Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2}=|a|$. Тогда $\sqrt{m^2} = |m|$. Так как по условию $m > 0$, то по определению модуля $|m|=m$.
Ответ: $m$.

2) Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем $\sqrt{n^2} = |n|$. По условию $n < 0$, поэтому по определению модуля $|n|=-n$.
Ответ: $-n$.

3) Представим выражение под корнем в виде квадрата: $\sqrt{16p^2} = \sqrt{(4p)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем $|4p|$. Так как по условию $p \ge 0$, то $4p \ge 0$, и следовательно, $|4p|=4p$.
Ответ: $4p$.

4) Представим выражение под корнем в виде квадрата: $\sqrt{0,36k^2} = \sqrt{(0,6k)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем $|0,6k|$. По условию $k \le 0$, значит $0,6k \le 0$. Поэтому, по определению модуля, $|0,6k| = -(0,6k) = -0,6k$.
Ответ: $-0,6k$.

5) Представим подкоренное выражение как квадрат: $c^{12} = (c^6)^2$. Тогда $\sqrt{c^{12}} = \sqrt{(c^6)^2} = |c^6|$. Так как показатель степени 6 — четное число, выражение $c^6$ всегда неотрицательно ($c^6 \ge 0$) при любом значении $c$. Следовательно, $|c^6| = c^6$.
Ответ: $c^6$.

6) Упростим подкоренное выражение: $\sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5b^7)^2}$. Применяя свойство корня из квадрата, получаем $|0,5b^7|$. По условию $b \le 0$. Так как показатель степени 7 — нечетное число, то $b^7 \le 0$. Следовательно, $0,5b^7 \le 0$. По определению модуля, $|0,5b^7| = -(0,5b^7) = -0,5b^7$.
Ответ: $-0,5b^7$.

7) Преобразуем выражение: $\sqrt{81x^4y^2} = \sqrt{(9x^2y)^2} = |9x^2y|$. Используя свойство модуля произведения $|abc|=|a||b||c|$, получаем $|9| \cdot |x^2| \cdot |y|$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $|x^2|=x^2$. По условию $y \ge 0$, значит $|y|=y$. В итоге получаем $9x^2y$.
Ответ: $9x^2y$.

8) Упростим подкоренное выражение: $\sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2} = |0,1a^3b^5|$. Раскроем модуль произведения: $|0,1| \cdot |a^3| \cdot |b^5|$. По условию $a \le 0$, поэтому $a^3 \le 0$ и $|a^3|=-a^3$. По условию $b \ge 0$, поэтому $b^5 \ge 0$ и $|b^5|=b^5$. В результате получаем $0,1 \cdot (-a^3) \cdot b^5 = -0,1a^3b^5$.
Ответ: $-0,1a^3b^5$.

9) Сначала упростим корень: $\sqrt{64x^{18}} = \sqrt{(8x^9)^2} = |8x^9|$. По условию $x \le 0$, значит $x^9 \le 0$ (нечетная степень). Следовательно, $8x^9 \le 0$, и $|8x^9| = -8x^9$. Теперь подставим это в исходное выражение: $-1,2x \cdot (-8x^9)$. Выполним умножение: $(-1,2) \cdot (-8) \cdot x \cdot x^9 = 9,6x^{1+9} = 9,6x^{10}$.
Ответ: $9,6x^{10}$.

10) Упростим выражение под корнем: $\sqrt{1,96m^6n^8} = \sqrt{(1,4m^3n^4)^2} = |1,4m^3n^4|$. Раскроем модуль: $|1,4| \cdot |m^3| \cdot |n^4|$. По условию $m \le 0$, поэтому $m^3 \le 0$ и $|m^3| = -m^3$. Выражение $n^4$ всегда неотрицательно ($n^4 \ge 0$), так как степень четная, поэтому $|n^4|=n^4$. Таким образом, корень равен $1,4 \cdot (-m^3) \cdot n^4 = -1,4m^3n^4$. Подставим в исходное выражение: $-0,5m^5 \cdot (-1,4m^3n^4) = 0,7m^{5+3}n^4 = 0,7m^8n^4$.
Ответ: $0,7m^8n^4$.