Номер 16.28, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.28, страница 139.

Условие.

16.28. Постройте график функции:

1) $y = 2x + \sqrt{x^2}$

2) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3$

3) $y = \sqrt{(x + 3)^2} + x$

Решение.

1) $y = 2x + \sqrt{x^2}$

Сначала упростим выражение функции. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, $\sqrt{x^2} = |x|$.

Таким образом, исходная функция принимает вид: $y = 2x + |x|$.

Это кусочно-линейная функция. Чтобы построить ее график, раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция становится $y = 2x + x = 3x$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция становится $y = 2x - x = x$.

Итак, функция может быть записана в виде системы: $y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат (0, 0):

• Для $x \ge 0$ это часть прямой $y=3x$. Это луч, проходящий через точки (0, 0) и (1, 3).
• Для $x < 0$ это часть прямой $y=x$. Это луч, проходящий через точки (0, 0) и (-1, -1).

Ответ: График функции — это объединение двух лучей, исходящих из точки (0, 0): луча $y = 3x$ для $x \ge 0$ и луча $y = x$ для $x < 0$.

2) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3$

Найдем область определения функции. Выражение в знаменателе не может быть равно нулю: $\sqrt{x^2} \ne 0$, что эквивалентно $x \ne 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение функции, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$: $y = \frac{x^2}{|x|} + 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция становится $y = \frac{x^2}{x} + 3 = x + 3$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция становится $y = \frac{x^2}{-x} + 3 = -x + 3$.

Итак, функция может быть записана в виде системы: $y = \begin{cases} x+3, & \text{если } x > 0 \\ -x+3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Эту систему можно записать в виде $y=|x|+3$ при $x \ne 0$. График этой функции — это график функции $y=|x|+3$ с "выколотой" (удаленной) точкой при $x=0$. Вершина графика $y=|x|+3$ находится в точке (0, 3). Поскольку $x=0$ не входит в область определения, эта точка должна быть исключена из графика. График состоит из двух лучей с началом в точке (0, 3), которая сама не принадлежит графику:

• Для $x > 0$ это луч $y=x+3$, проходящий через точку (1, 4).
• Для $x < 0$ это луч $y=-x+3$, проходящий через точку (-1, 4).

Ответ: График функции — это график функции $y = |x|+3$ с выколотой точкой в вершине (0, 3).

3) $y = \sqrt{(x + 3)^2} + x$

Упростим выражение функции, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. $\sqrt{(x+3)^2} = |x+3|$. Функция принимает вид: $y = |x+3| + x$.

Это кусочно-линейная функция. Раскроем модуль. Выражение под модулем $x+3$ равно нулю при $x=-3$. Рассмотрим два случая:

1. Если $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$, то $|x+3| = x+3$. Функция становится $y = (x+3) + x = 2x + 3$.
2. Если $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$, то $|x+3| = -(x+3) = -x-3$. Функция становится $y = (-x-3) + x = -3$.

Итак, функция может быть записана в виде системы: $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \ge -3 \\ -3, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, соединяющихся в точке "излома" при $x=-3$.

• При $x < -3$ график представляет собой горизонтальный луч $y = -3$.
• При $x \ge -3$ график представляет собой луч $y = 2x + 3$. Начало этого луча находится в точке, где $x=-3$. Найдем ее ординату: $y = 2(-3) + 3 = -3$. Таким образом, луч начинается в точке (-3, -3) и проходит, например, через точку (0, 3).

Оба луча встречаются в точке (-3, -3).

Ответ: График функции состоит из двух лучей, соединенных в точке (-3, -3): горизонтального луча $y = -3$ при $x < -3$ и луча $y = 2x+3$ при $x \ge -3$.