Номер 16.23, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.23, страница 139.

Условие.

16.23. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9a^{16}};$

2) $\sqrt{0,81d^6}$, если $d \geq 0;$

3) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \leq 0;$

4) $-0,1\sqrt{100z^{10}}$, если $z \geq 0;$

5) $\sqrt{p^6q^8}$, если $p \geq 0;$

6) $\sqrt{25m^{34}n^{38}}$, если $m \leq 0, n \leq 0;$

7) $b^2\sqrt{b^{18}c^{22}}$, если $b \geq 0, c \leq 0;$

8) $\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{k^{32}p^{40}}{m^6}}$, если $m < 0.$

Решение.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{9a^{16}}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.

$\sqrt{9a^{16}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^{16}} = 3 \cdot \sqrt{(a^8)^2}$.

Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $3 \cdot |a^8|$.

Поскольку $a^8 = (a^4)^2$ всегда является неотрицательным числом ($a^8 \ge 0$) при любом значении $a$, то $|a^8| = a^8$.

Таким образом, выражение равно $3a^8$.

Ответ: $3a^8$

2) Упростим выражение $\sqrt{0,81d^6}$ при условии, что $d \ge 0$.

$\sqrt{0,81d^6} = \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{d^6} = 0,9 \cdot \sqrt{(d^3)^2} = 0,9 \cdot |d^3|$.

По условию $d \ge 0$, следовательно, $d^3 \ge 0$. Для неотрицательных чисел модуль равен самому числу: $|d^3| = d^3$.

Получаем: $0,9d^3$.

Ответ: $0,9d^3$

3) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$ при условии, что $x \le 0$.

$-5\sqrt{4x^2} = -5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = -5 \cdot 2 \cdot |x| = -10|x|$.

По условию $x \le 0$. По определению модуля, для отрицательных чисел и нуля $|x| = -x$.

Подставляем это в выражение: $-10(-x) = 10x$.

Ответ: $10x$

4) Упростим выражение $-0,1\sqrt{100z^{10}}$ при условии, что $z \ge 0$.

$-0,1\sqrt{100z^{10}} = -0,1 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{z^{10}} = -0,1 \cdot 10 \cdot \sqrt{(z^5)^2} = -1 \cdot |z^5| = -|z^5|$.

По условию $z \ge 0$, следовательно, $z^5 \ge 0$. Значит, $|z^5| = z^5$.

В результате получаем: $-z^5$.

Ответ: $-z^5$

5) Упростим выражение $\sqrt{p^6q^8}$ при условии, что $p \ge 0$.

$\sqrt{p^6q^8} = \sqrt{p^6} \cdot \sqrt{q^8} = \sqrt{(p^3)^2} \cdot \sqrt{(q^4)^2} = |p^3| \cdot |q^4|$.

По условию $p \ge 0$, значит $p^3 \ge 0$, и $|p^3| = p^3$.

Степень $q^4$ всегда неотрицательна ($q^4 \ge 0$) для любого $q$, поэтому $|q^4| = q^4$.

Итоговое выражение: $p^3q^4$.

Ответ: $p^3q^4$

6) Упростим выражение $\sqrt{25m^{34}n^{38}}$ при условии, что $m \le 0, n \le 0$.

$\sqrt{25m^{34}n^{38}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{m^{34}} \cdot \sqrt{n^{38}} = 5 \cdot \sqrt{(m^{17})^2} \cdot \sqrt{(n^{19})^2} = 5|m^{17}||n^{19}|$.

По условию $m \le 0$. Так как 17 — нечетная степень, то $m^{17} \le 0$. Следовательно, $|m^{17}| = -m^{17}$.

Аналогично, по условию $n \le 0$. Так как 19 — нечетная степень, то $n^{19} \le 0$. Следовательно, $|n^{19}| = -n^{19}$.

Подставляем в выражение: $5(-m^{17})(-n^{19}) = 5m^{17}n^{19}$.

Ответ: $5m^{17}n^{19}$

7) Упростим выражение $b^2\sqrt{b^{18}c^{22}}$ при условии, что $b \ge 0, c \le 0$.

$b^2\sqrt{b^{18}c^{22}} = b^2 \cdot \sqrt{b^{18}} \cdot \sqrt{c^{22}} = b^2 \cdot \sqrt{(b^9)^2} \cdot \sqrt{(c^{11})^2} = b^2|b^9||c^{11}|$.

По условию $b \ge 0$. Так как 9 — нечетная степень, то $b^9 \ge 0$. Следовательно, $|b^9| = b^9$.

По условию $c \le 0$. Так как 11 — нечетная степень, то $c^{11} \le 0$. Следовательно, $|c^{11}| = -c^{11}$.

Подставляем в выражение: $b^2 \cdot b^9 \cdot (-c^{11}) = -b^{2+9}c^{11} = -b^{11}c^{11}$.

Ответ: $-b^{11}c^{11}$

8) Упростим выражение $\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{k^{32}p^{40}}{m^6}}$ при условии, что $m < 0$.

Сначала упростим корень: $\sqrt{\frac{k^{32}p^{40}}{m^6}} = \frac{\sqrt{k^{32}p^{40}}}{\sqrt{m^6}} = \frac{\sqrt{(k^{16})^2}\sqrt{(p^{20})^2}}{\sqrt{(m^3)^2}} = \frac{|k^{16}||p^{20}|}{|m^3|}$.

Выражения $k^{16}$ и $p^{20}$ всегда неотрицательны, поэтому $|k^{16}| = k^{16}$ и $|p^{20}| = p^{20}$.

По условию $m < 0$, значит $m^3 < 0$. Следовательно, $|m^3| = -m^3$.

Корень равен $\frac{k^{16}p^{20}}{-m^3}$.

Подставляем это в исходное выражение: $\frac{8m^3p^4}{k^2} \cdot \frac{k^{16}p^{20}}{-m^3}$.

Сокращаем $m^3$: $\frac{8p^4}{k^2} \cdot \frac{k^{16}p^{20}}{-1} = -8 \frac{p^4 p^{20} k^{16}}{k^2}$.

Используя свойства степеней, получаем: $-8 p^{4+20} k^{16-2} = -8p^{24}k^{14}$.

Ответ: $-8k^{14}p^{24}$