Номер 16.19, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.19, страница 138.

Условие.

16.19. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{7})^2}$;

2) $\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} + \sqrt{(3-\sqrt{3})^2}$.

Решение.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа a).

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{7}|$.

Далее необходимо определить знак выражения под знаком модуля. Для этого сравним числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, из неравенства $6 < 7$ следует, что $\sqrt{6} < \sqrt{7}$.

Таким образом, разность $\sqrt{6} - \sqrt{7}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно ($b < 0$), то $|b| = -b$. Следовательно:

$|\sqrt{6} - \sqrt{7}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{7}) = -\sqrt{6} + \sqrt{7} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{6}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2}$. Аналогично первому пункту, используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2} = |2\sqrt{5} - 3|$.

Теперь определим знак выражения $2\sqrt{5} - 3$. Для этого сравним числа $2\sqrt{5}$ и $3$. Чтобы избавиться от корня, возведем оба числа в квадрат:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

$3^2 = 9$.

Так как $20 > 9$, то и $2\sqrt{5} > 3$. Это означает, что разность $2\sqrt{5} - 3$ является положительным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем положительно ($b > 0$), то $|b| = b$. Значит:

$|2\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 3$.

Ответ: $2\sqrt{5} - 3$.

3) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$.

Это выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Упростим каждое из них по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Первое слагаемое: $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2|$.

Определим знак выражения $\sqrt{3} - 2$. Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Возведем в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$.

Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Значит, выражение $\sqrt{3} - 2$ отрицательное.

Следовательно, $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.

Второе слагаемое: $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}|$.

Определим знак выражения $3 - \sqrt{3}$. Сравним $3$ и $\sqrt{3}$. Возведем в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Поскольку $9 > 3$, то $3 > \sqrt{3}$. Значит, выражение $3 - \sqrt{3}$ положительное.

Следовательно, $|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные упрощенные выражения:

$(2 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = (2+3) - (\sqrt{3}+\sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $5 - 2\sqrt{3}$.