Номер 16.25, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.25, страница 139.

Условие.

16.25. Упростите выражение:

1) $ \sqrt{c^2 + 6c + 9} $, если $ c \ge -3; $

2) $ \frac{\sqrt{(m-5)^4}}{m^2 - 10m + 25} $.

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{c^2 + 6c + 9}$, заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=c$ и $b=3$. Проверим: $c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = c^2 + 6c + 9$. Таким образом, выражение можно переписать в виде: $\sqrt{c^2 + 6c + 9} = \sqrt{(c+3)^2}$. Далее используем свойство квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$. Получаем: $\sqrt{(c+3)^2} = |c+3|$. По условию задачи $c \ge -3$, что равносильно $c+3 \ge 0$. Так как выражение под знаком модуля неотрицательно, модуль можно раскрыть, не меняя знак выражения: $|c+3| = c+3$.
Ответ: $c+3$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{(m-5)^4}}{m^2 - 10m + 25}$. Сначала упростим числитель. Используя свойство степени, можно записать: $\sqrt{(m-5)^4} = ((m-5)^4)^{1/2} = (m-5)^{4 \cdot (1/2)} = (m-5)^2$. Теперь упростим знаменатель. Выражение $m^2 - 10m + 25$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=m$ и $b=5$. Проверим: $m^2 - 2 \cdot m \cdot 5 + 5^2 = m^2 - 10m + 25$. Значит, знаменатель равен $(m-5)^2$. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{(m-5)^2}{(m-5)^2}$. Исходное выражение имеет смысл, только если его знаменатель не равен нулю: $m^2 - 10m + 25 \ne 0$, то есть $(m-5)^2 \ne 0$, откуда $m \ne 5$. При $m \ne 5$ мы можем сократить дробь на $(m-5)^2$: $\frac{(m-5)^2}{(m-5)^2} = 1$.
Ответ: $1$.