Номер 16.24, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.24, страница 139.

Условие.

16.24. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a-4)^2}$;

2) $\sqrt{(b-15)^2}$, если $b \ge 15$;

3) $\sqrt{(c+1)^2}$, если $c \le -1$;

4) $(12-m)\sqrt{\frac{400}{(m-12)^2}}$, если $m > 12$;

5) $\frac{n^2-6n+9}{n+3}\sqrt{\frac{(n+3)^4}{(n-3)^2}}$, если $n > 3$;

6) $\frac{p^2-1}{(p+2)^2}\sqrt{\frac{p^2+4p+4}{(p+1)^2}}$, если $p < -2$.

Решение.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(a-4)^2}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{(a-4)^2} = |a-4|$.
Так как значение переменной $a$ не задано, мы должны рассмотреть два случая:
1. Если $a-4 \ge 0$, то есть $a \ge 4$, то $|a-4| = a-4$.
2. Если $a-4 < 0$, то есть $a < 4$, то $|a-4| = -(a-4) = 4-a$.
Таким образом, выражение равно $a-4$ при $a \ge 4$ и $4-a$ при $a < 4$. Полным упрощением без дополнительных условий является выражение с модулем.
Ответ: $|a-4|$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(b-15)^2}$ при условии $b \ge 15$.
Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$: $\sqrt{(b-15)^2} = |b-15|$.
Согласно условию, $b \ge 15$, следовательно, выражение $b-15$ является неотрицательным ($b-15 \ge 0$).
По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому выражению: $|b-15| = b-15$.
Ответ: $b-15$.

3) Упростим выражение $\sqrt{(c+1)^2}$ при условии $c \le -1$.
Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$: $\sqrt{(c+1)^2} = |c+1|$.
Согласно условию, $c \le -1$, следовательно, выражение $c+1$ является неположительным ($c+1 \le 0$).
По определению модуля, если выражение под модулем неположительно, то модуль равен противоположному выражению: $|c+1| = -(c+1) = -c-1$.
Ответ: $-c-1$.

4) Упростим выражение $(12-m)\sqrt{\frac{400}{(m-12)^2}}$ при условии $m > 12$.
Сначала упростим корень: $\sqrt{\frac{400}{(m-12)^2}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{(m-12)^2}} = \frac{20}{|m-12|}$.
По условию $m > 12$, значит $m-12 > 0$.
Следовательно, $|m-12| = m-12$.
Подставим это в выражение: $(12-m) \cdot \frac{20}{m-12}$.
Заметим, что $12-m = -(m-12)$.
Тогда выражение принимает вид: $-(m-12) \cdot \frac{20}{m-12}$.
Сокращая на $(m-12)$ (что возможно, так как $m \neq 12$), получаем: $-1 \cdot 20 = -20$.
Ответ: $-20$.

5) Упростим выражение $\frac{n^2 - 6n + 9}{n+3}\sqrt{\frac{(n+3)^4}{(n-3)^2}}$ при условии $n > 3$.
Преобразуем выражения. Числитель первой дроби является полным квадратом: $n^2 - 6n + 9 = (n-3)^2$.
Упростим выражение под корнем: $\sqrt{\frac{(n+3)^4}{(n-3)^2}} = \frac{\sqrt{((n+3)^2)^2}}{\sqrt{(n-3)^2}} = \frac{|(n+3)^2|}{|n-3|}$.
Так как $(n+3)^2$ всегда неотрицательно, $|(n+3)^2| = (n+3)^2$.
По условию $n > 3$, значит $n-3 > 0$, и следовательно $|n-3| = n-3$.
Таким образом, корень равен $\frac{(n+3)^2}{n-3}$.
Подставим все в исходное выражение: $\frac{(n-3)^2}{n+3} \cdot \frac{(n+3)^2}{n-3}$.
Сократим дроби: $(n-3) \cdot (n+3)$.
Используя формулу разности квадратов, получаем: $n^2 - 3^2 = n^2 - 9$.
Ответ: $n^2-9$.

6) Упростим выражение $\frac{p^2-1}{(p+2)^2}\sqrt{\frac{p^2+4p+4}{(p+1)^2}}$ при условии $p < -2$.
Преобразуем выражения, используя формулы сокращенного умножения:
$p^2-1 = (p-1)(p+1)$
$p^2+4p+4 = (p+2)^2$
Исходное выражение: $\frac{(p-1)(p+1)}{(p+2)^2}\sqrt{\frac{(p+2)^2}{(p+1)^2}}$.
Упростим корень: $\sqrt{\frac{(p+2)^2}{(p+1)^2}} = \frac{\sqrt{(p+2)^2}}{\sqrt{(p+1)^2}} = \frac{|p+2|}{|p+1|}$.
Раскроем модули с учетом условия $p < -2$.
Если $p < -2$, то $p+2 < 0$, следовательно $|p+2| = -(p+2)$.
Если $p < -2$, то $p+1 < -1$, следовательно $p+1 < 0$ и $|p+1| = -(p+1)$.
Тогда корень равен $\frac{-(p+2)}{-(p+1)} = \frac{p+2}{p+1}$.
Подставим в выражение: $\frac{(p-1)(p+1)}{(p+2)^2} \cdot \frac{p+2}{p+1}$.
Сократим дроби, учитывая, что $p \neq -1$ и $p \neq -2$: $\frac{p-1}{p+2}$.
Ответ: $\frac{p-1}{p+2}$.