Номер 16.31, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.31, страница 140.

Условие.

16.31. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2} = 6x - 10$;

2) $\sqrt{x^2} = x + 8$;

3) $\sqrt{4x^2 - 4x + 1} = x + 1$;

4) $\sqrt{9 - 6x + x^2} = 2x - 1$.

Решение.

1) Решим уравнение $\sqrt{x^2} = 6x - 10$.

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид $|x| = 6x - 10$.

Так как модуль числа — величина неотрицательная, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$6x - 10 \ge 0$
$6x \ge 10$
$x \ge \frac{10}{6}$
$x \ge \frac{5}{3}$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.
$x = 6x - 10$
$5x = 10$
$x = 2$
Корень $x = 2$ удовлетворяет обоим условиям: $x \ge 0$ и $x \ge \frac{5}{3}$ (так как $2 > 1.66...$). Следовательно, $x = 2$ является решением.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
$-x = 6x - 10$
$7x = 10$
$x = \frac{10}{7}$
Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому он не является решением.

Единственным решением уравнения является $x=2$.
Ответ: 2.

2) Решим уравнение $\sqrt{x^2} = x + 8$.

Заменим $\sqrt{x^2}$ на $|x|$: $|x| = x + 8$.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$x + 8 \ge 0$
$x \ge -8$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.
$x = x + 8$
$0 = 8$
Получено неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
$-x = x + 8$
$-2x = 8$
$x = -4$
Корень $x = -4$ удовлетворяет обоим условиям: $x < 0$ и $x \ge -8$. Следовательно, $x = -4$ является решением.

Ответ: -4.

3) Решим уравнение $\sqrt{4x^2 - 4x + 1} = x + 1$.

Выражение под корнем является полным квадратом: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$.
Уравнение принимает вид: $\sqrt{(2x - 1)^2} = x + 1$.

Это эквивалентно $|2x - 1| = x + 1$.

Правая часть должна быть неотрицательной:
$x + 1 \ge 0$
$x \ge -1$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.
$2x - 1 = x + 1$
$x = 2$
Корень $x = 2$ удовлетворяет условиям $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \ge -1$. Это решение.

Случай 2: $2x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$.
$-(2x - 1) = x + 1$
$-2x + 1 = x + 1$
$3x = 0$
$x = 0$
Корень $x = 0$ удовлетворяет условиям $x < \frac{1}{2}$ и $x \ge -1$. Это тоже решение.

Ответ: 0; 2.

4) Решим уравнение $\sqrt{9 - 6x + x^2} = 2x - 1$.

Выражение под корнем является полным квадратом: $9 - 6x + x^2 = (3 - x)^2$ или $(x - 3)^2$.
Уравнение принимает вид: $\sqrt{(x - 3)^2} = 2x - 1$.

Это эквивалентно $|x - 3| = 2x - 1$.

Правая часть должна быть неотрицательной:
$2x - 1 \ge 0$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
$x - 3 = 2x - 1$
$-x = 2$
$x = -2$
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, поэтому не является решением.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
$-(x - 3) = 2x - 1$
$-x + 3 = 2x - 1$
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Корень $x = \frac{4}{3}$ удовлетворяет обоим условиям: $x < 3$ и $x \ge \frac{1}{2}$ (так как $\frac{4}{3} \approx 1.33$). Следовательно, это решение.

Ответ: $\frac{4}{3}$.