Номер 16.34, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.34, страница 140.

Условие.

16.34. Изобразите на координатной плоскости множество точек $(x; y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению:

1) $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$;

2) $\sqrt{xy} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-y}$;

3) $\sqrt{xy} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{y}$;

4) $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{-y}$.

Решение.

Для решения задачи необходимо найти область определения для каждого уравнения, а затем определить, для каких точек из этой области уравнение обращается в верное тождество.

1) $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$

Найдем область определения данного равенства. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} xy \ge 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $$ Если $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то их произведение $xy$ также неотрицательно. Таким образом, первое неравенство является следствием двух других. Система равносильна следующей: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $$ Это множество точек, расположенных в первой координатной четверти, включая неотрицательные полуоси $Ox$ и $Oy$.
Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо тождество $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Следовательно, данное равенство верно для всех точек из его области определения.

Ответ: Множество точек первой координатной четверти, включая ее границы (все точки $(x, y)$, для которых $x \ge 0$ и $y \ge 0$).

2) $\sqrt{xy} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-y}$

Найдем область определения. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} xy \ge 0 \\ -x \ge 0 \\ -y \ge 0 \end{cases} $$ Из второго и третьего неравенств получаем $x \le 0$ и $y \le 0$. Если $x \le 0$ и $y \le 0$, то их произведение $xy$ неотрицательно. Следовательно, первое неравенство является следствием двух других. Система равносильна следующей: $$ \begin{cases} x \le 0 \\ y \le 0 \end{cases} $$ Это множество точек, расположенных в третьей координатной четверти, включая неположительные полуоси $Ox$ и $Oy$.
Для всех точек из этой области, где $x \le 0$ и $y \le 0$, можно записать $x = -a$ и $y = -b$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Тогда уравнение примет вид $\sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-(-a)} \cdot \sqrt{-(-b)}$, что эквивалентно $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Это равенство является тождеством для всех $a \ge 0, b \ge 0$. Таким образом, исходное равенство верно для всех точек из его области определения.

Ответ: Множество точек третьей координатной четверти, включая ее границы (все точки $(x, y)$, для которых $x \le 0$ и $y \le 0$).

3) $\sqrt{xy} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{y}$

Найдем область определения. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} xy \ge 0 \\ -x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $$ Из второго и третьего неравенств получаем $x \le 0$ и $y \ge 0$. Для таких $x$ и $y$ их произведение $xy \le 0$.
Таким образом, система содержит два противоположных условия на произведение $xy$: $xy \ge 0$ и $xy \le 0$. Это возможно только в том случае, если $xy = 0$.
Условие $xy=0$ означает, что либо $x=0$, либо $y=0$.
1. Если $x=0$, система ограничений принимает вид: $y \ge 0$. Все точки вида $(0, y)$, где $y \ge 0$, принадлежат области определения. Это неотрицательная полуось $Oy$. Подставив $x=0$ в исходное уравнение, получим $\sqrt{0} = \sqrt{0} \cdot \sqrt{y}$, то есть $0=0$, что верно для всех $y \ge 0$.
2. Если $y=0$, система ограничений принимает вид: $x \le 0$. Все точки вида $(x, 0)$, где $x \le 0$, принадлежат области определения. Это неположительная полуось $Ox$. Подставив $y=0$ в исходное уравнение, получим $\sqrt{0} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{0}$, то есть $0=0$, что верно для всех $x \le 0$.
Искомое множество точек является объединением этих двух случаев.

Ответ: Объединение неотрицательной полуоси $Oy$ (точки $(0, y)$, где $y \ge 0$) и неположительной полуоси $Ox$ (точки $(x, 0)$, где $x \le 0$).

4) $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{-y}$

Найдем область определения. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} xy \ge 0 \\ x \ge 0 \\ -y \ge 0 \end{cases} $$ Из второго и третьего неравенств получаем $x \ge 0$ и $y \le 0$. Для таких $x$ и $y$ их произведение $xy \le 0$.
Система содержит условия $xy \ge 0$ и $xy \le 0$, что возможно только при $xy = 0$.
Условие $xy=0$ означает, что либо $x=0$, либо $y=0$.
1. Если $x=0$, система ограничений принимает вид: $y \le 0$. Все точки вида $(0, y)$, где $y \le 0$, принадлежат области определения. Это неположительная полуось $Oy$. Подстановка в уравнение дает тождество $0=0$.
2. Если $y=0$, система ограничений принимает вид: $x \ge 0$. Все точки вида $(x, 0)$, где $x \ge 0$, принадлежат области определения. Это неотрицательная полуось $Ox$. Подстановка в уравнение также дает тождество $0=0$.
Искомое множество точек является объединением этих двух случаев.

Ответ: Объединение неотрицательной полуоси $Ox$ (точки $(x, 0)$, где $x \ge 0$) и неположительной полуоси $Oy$ (точки $(0, y)$, где $y \le 0$).