Номер 17.1, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.1, страница 144.

Условие.

17.1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{54}$; 2) $\sqrt{490}$; 3) $\sqrt{275}$; 4) $\sqrt{0,72}$; 5) $\sqrt{0,48}$.

Решение.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{54}$, необходимо разложить подкоренное число 54 на множители таким образом, чтобы один из них был наибольшим возможным точным квадратом.
Разложим 54 на множители: $54 = 9 \cdot 6$. Здесь 9 является точным квадратом, так как $9=3^2$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$.
Ответ: $3\sqrt{6}$.

2) Разложим подкоренное число 490 на множители, выделив наибольший точный квадрат.
$490 = 49 \cdot 10$. Здесь 49 является точным квадратом, так как $49=7^2$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{490} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{10} = 7\sqrt{10}$.
Ответ: $7\sqrt{10}$.

3) Разложим подкоренное число 275 на множители, выделив наибольший точный квадрат.
$275 = 25 \cdot 11$. Здесь 25 является точным квадратом, так как $25=5^2$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{275} = \sqrt{25 \cdot 11} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{11} = 5\sqrt{11}$.
Ответ: $5\sqrt{11}$.

4) Для выражения $\sqrt{0,72}$ сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.
$0,72 = \frac{72}{100}$.
Теперь применим свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{0,72} = \sqrt{\frac{72}{100}} = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{72}}{10}$.
Далее, вынесем множитель из-под знака корня в числителе. Разложим 72 на множители: $72 = 36 \cdot 2$.
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение обратно в дробь и сократим ее:
$\frac{6\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{5}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{5}$.

5) Для выражения $\sqrt{0,48}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.
$0,48 = \frac{48}{100}$.
Применим свойство корня из дроби:
$\sqrt{0,48} = \sqrt{\frac{48}{100}} = \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{48}}{10}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в числителе. Разложим 48 на множители: $48 = 16 \cdot 3$.
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Подставим полученное значение обратно в дробь и сократим ее:
$\frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{5}$.