Номер 17.3, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.3, страница 145.

Условие.

17.3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{27}$;

2) $-2\sqrt{0,18}$;

3) $\frac{3}{7}\sqrt{98}$;

4) $10\sqrt{0,03}$.

Решение.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{27}$, нужно разложить подкоренное число 27 на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.
Число 27 можно представить как произведение $9 \cdot 3$. Число 9 является точным квадратом ($3^2=9$).
Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$), получаем:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$

2) Рассмотрим выражение $-2\sqrt{0,18}$. Сначала преобразуем десятичную дробь под корнем.
Представим 0,18 как произведение числа, являющегося точным квадратом, и другого числа. Например, $0,18 = 0,09 \cdot 2$. Число 0,09 является точным квадратом ($0,3^2=0,09$).
Применим свойство корня из произведения:
$-2\sqrt{0,18} = -2\sqrt{0,09 \cdot 2} = -2 \cdot (\sqrt{0,09} \cdot \sqrt{2})$
Так как $\sqrt{0,09} = 0,3$, получаем:
$-2 \cdot 0,3 \cdot \sqrt{2} = -0,6\sqrt{2}$.
Ответ: $-0,6\sqrt{2}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{3}{7}\sqrt{98}$. Разложим подкоренное число 98 на множители, один из которых является точным квадратом.
$98 = 49 \cdot 2$. Число 49 является точным квадратом ($7^2=49$).
Используем свойство корня из произведения:
$\frac{3}{7}\sqrt{98} = \frac{3}{7}\sqrt{49 \cdot 2} = \frac{3}{7} \cdot (\sqrt{49} \cdot \sqrt{2})$
Так как $\sqrt{49} = 7$, получаем:
$\frac{3}{7} \cdot 7 \cdot \sqrt{2}$
Сокращаем 7 и получаем:
$3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$

4) Рассмотрим выражение $10\sqrt{0,03}$. Преобразуем десятичную дробь под корнем в обыкновенную.
$0,03 = \frac{3}{100}$.
Выражение принимает вид:
$10\sqrt{\frac{3}{100}}$
Используем свойство корня из частного ($\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$):
$10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}}$
Так как $\sqrt{100}=10$, получаем:
$10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{10}$
Сокращаем 10 и получаем:
$\sqrt{3}$.
В этом случае, вынесение множителя $\frac{1}{10}$ из-под корня привело к упрощению всего выражения.
Ответ: $\sqrt{3}$