Номер 17.7, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.7, страница 145.

Условие.

17.7. Упростите выражение:

1) $2\sqrt{4x} + 6\sqrt{16x} - \sqrt{625x}$;

2) $3\sqrt{0,09y} - 0,6\sqrt{144y} + \frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y}$.

Решение.

1) $2\sqrt{4x} + 6\sqrt{16x} - \sqrt{625x}$

Чтобы упростить выражение, необходимо вынести числовые множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого воспользуемся свойством корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$). Предполагается, что $x \ge 0$.

1. Упростим первое слагаемое:

$2\sqrt{4x} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} = 4\sqrt{x}$

2. Упростим второе слагаемое:

$6\sqrt{16x} = 6 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{x} = 6 \cdot 4 \cdot \sqrt{x} = 24\sqrt{x}$

3. Упростим третье слагаемое:

$\sqrt{625x} = \sqrt{625} \cdot \sqrt{x} = 25\sqrt{x}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые, у которых общим множителем является $\sqrt{x}$:

$4\sqrt{x} + 24\sqrt{x} - 25\sqrt{x} = (4 + 24 - 25)\sqrt{x} = (28 - 25)\sqrt{x} = 3\sqrt{x}$

Ответ: $3\sqrt{x}$.

2) $3\sqrt{0,09y} - 0,6\sqrt{144y} + \frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y}$

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака корня. Используем свойства $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a \ge 0, b > 0$). Предполагается, что $y \ge 0$.

1. Упростим первое слагаемое:

$3\sqrt{0,09y} = 3 \cdot \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{y} = 3 \cdot 0,3 \cdot \sqrt{y} = 0,9\sqrt{y}$

2. Упростим второе слагаемое:

$0,6\sqrt{144y} = 0,6 \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{y} = 0,6 \cdot 12 \cdot \sqrt{y} = 7,2\sqrt{y}$

3. Упростим третье слагаемое:

$\frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y} = \frac{18}{11} \cdot \sqrt{\frac{121}{36}} \cdot \sqrt{y} = \frac{18}{11} \cdot \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}} \cdot \sqrt{y} = \frac{18}{11} \cdot \frac{11}{6} \cdot \sqrt{y}$

Сократим дроби в коэффициенте: $\frac{18}{11} \cdot \frac{11}{6} = \frac{18 \cdot 11}{11 \cdot 6} = \frac{18}{6} = 3$. Таким образом, третье слагаемое равно $3\sqrt{y}$.

Подставим упрощенные слагаемые в выражение и выполним действия:

$0,9\sqrt{y} - 7,2\sqrt{y} + 3\sqrt{y} = (0,9 - 7,2 + 3)\sqrt{y} = (3,9 - 7,2)\sqrt{y} = -3,3\sqrt{y}$

Ответ: $-3,3\sqrt{y}$.