Номер 17.12, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.12, страница 145.

Условие.

17.12. Освободите знаменатель дроби от иррациональности:

1) $\frac{18}{\sqrt{5}};$

2) $\frac{m}{\sqrt{n}};$

3) $\frac{7}{\sqrt{7}};$

4) $\frac{24}{5\sqrt{3}};$

Решение.

Чтобы освободить знаменатель дроби от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое выражение, чтобы в знаменателе исчез знак корня. В данном случае, когда знаменатель содержит квадратный корень, мы домножаем на этот же корень, так как $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $.

1)

Дана дробь $ \frac{18}{\sqrt{5}} $.

Чтобы избавиться от $ \sqrt{5} $ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{18\sqrt{5}}{5} $.

В полученной дроби знаменатель равен 5, что является рациональным числом.

Ответ: $ \frac{18\sqrt{5}}{5} $.

2)

Дана дробь $ \frac{m}{\sqrt{n}} $. (Предполагается, что $ n > 0 $).

Чтобы избавиться от $ \sqrt{n} $ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{n} $:

$ \frac{m}{\sqrt{n}} = \frac{m \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}} = \frac{m\sqrt{n}}{(\sqrt{n})^2} = \frac{m\sqrt{n}}{n} $.

В полученной дроби знаменатель равен $ n $, иррациональность устранена.

Ответ: $ \frac{m\sqrt{n}}{n} $.

3)

Дана дробь $ \frac{7}{\sqrt{7}} $.

Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{7} $:

$ \frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2} = \frac{7\sqrt{7}}{7} $.

Сократим дробь на 7:

$ \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7} $.

Также можно было заметить, что $ 7 = (\sqrt{7})^2 $, и сразу сократить дробь:

$ \frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7})^2}{\sqrt{7}} = \sqrt{7} $.

Ответ: $ \sqrt{7} $.

4)

Дана дробь $ \frac{24}{5\sqrt{3}} $.

Иррациональной частью знаменателя является $ \sqrt{3} $. Умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $:

$ \frac{24}{5\sqrt{3}} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{5 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{24\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{24\sqrt{3}}{15} $.

Теперь сократим полученную дробь. Числитель 24 и знаменатель 15 делятся на 3:

$ \frac{24\sqrt{3}}{15} = \frac{8\sqrt{3}}{5} $.

В полученной дроби знаменатель равен 5, что является рациональным числом.

Ответ: $ \frac{8\sqrt{3}}{5} $.