Номер 17.17, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.17, страница 146.

Условие.

17.17. Сократите дробь:

1) $\frac{x-25}{\sqrt{x}-5}$;

2) $\frac{\sqrt{a}+2}{a-4}$;

3) $\frac{a-3}{\sqrt{a}+\sqrt{3}};$

4) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}};$

5) $\frac{23-\sqrt{23}}{\sqrt{23}};$

6) $\frac{\sqrt{24}-\sqrt{28}}{\sqrt{54}-\sqrt{63}};$

7) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-2\sqrt{ab}+b};$

8) $\frac{b-8\sqrt{b}+16}{\sqrt{b}-4}.$

Решение.

1) Для сокращения дроби $\frac{x-25}{\sqrt{x}-5}$ представим числитель в виде разности квадратов. Так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $25 = 5^2$, то числитель можно разложить по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $x-25 = (\sqrt{x})^2 - 5^2 = (\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)$. Подставим это выражение в дробь: $\frac{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}-5}$. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x}-5)$. Область допустимых значений: $x \ge 0$, $x \neq 25$. В результате получаем: $\sqrt{x}+5$.

Ответ: $\sqrt{x}+5$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{a}+2}{a-4}$. Знаменатель $a-4$ можно разложить на множители как разность квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $4 = 2^2$: $a-4 = (\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. Тогда дробь примет вид: $\frac{\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$. Сократим на общий множитель $(\sqrt{a}+2)$. Область допустимых значений: $a \ge 0$, $a \neq 4$. В результате получаем: $\frac{1}{\sqrt{a}-2}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}-2}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a-3}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}$, разложим числитель на множители как разность квадратов. Представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $3$ как $(\sqrt{3})^2$. Тогда $a-3 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})$. Подставим в дробь: $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}$. Сократим на общий множитель $(\sqrt{a}+\sqrt{3})$. Область допустимых значений: $a \ge 0$. В результате получаем: $\sqrt{a}-\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{a}-\sqrt{3}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$. Можно вынести общий множитель $\sqrt{5}$ в числителе: $\sqrt{10}+\sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 2}+\sqrt{5} = \sqrt{5}\sqrt{2}+\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2}+1)$. Дробь примет вид: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{5}}$. Сократив на $\sqrt{5}$, получим $\sqrt{2}+1$. Другой способ - выполнить почленное деление числителя на знаменатель: $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} + 1 = \sqrt{2} + 1$.

Ответ: $\sqrt{2}+1$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{23-\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$, вынесем в числителе за скобки общий множитель $\sqrt{23}$. $23-\sqrt{23} = (\sqrt{23})^2 - \sqrt{23} = \sqrt{23}(\sqrt{23}-1)$. Подставим в дробь: $\frac{\sqrt{23}(\sqrt{23}-1)}{\sqrt{23}}$. Сократим на $\sqrt{23}$ и получим $\sqrt{23}-1$. Либо разделим почленно: $\frac{23}{\sqrt{23}} - \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}} = \frac{(\sqrt{23})^2}{\sqrt{23}} - 1 = \sqrt{23} - 1$.

Ответ: $\sqrt{23}-1$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{24}-\sqrt{28}}{\sqrt{54}-\sqrt{63}}$. Сначала упростим подкоренные выражения, вынося множители из-под знака корня: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$ $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ Подставим упрощенные значения в дробь: $\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{7}}{3\sqrt{6}-3\sqrt{7}}$. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе: $\frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{7})}{3(\sqrt{6}-\sqrt{7})}$. Сократим на общий множитель $(\sqrt{6}-\sqrt{7})$. В результате получаем $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

7) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-2\sqrt{ab}+b}$ заметим, что знаменатель является полным квадратом разности, согласно формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. $a-2\sqrt{ab}+b = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$. Подставим это в знаменатель: $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}$. Сократим дробь на $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Область допустимых значений: $a \ge 0, b \ge 0, a \neq b$. В результате получаем $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.

8) Рассмотрим дробь $\frac{b-8\sqrt{b}+16}{\sqrt{b}-4}$. Числитель $b-8\sqrt{b}+16$ является полным квадратом разности, так как $b=(\sqrt{b})^2$, $16=4^2$ и $8\sqrt{b}=2 \cdot \sqrt{b} \cdot 4$: $b-8\sqrt{b}+16 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 4 + 4^2 = (\sqrt{b}-4)^2$. Подставим это выражение в числитель: $\frac{(\sqrt{b}-4)^2}{\sqrt{b}-4}$. Сократим дробь на $(\sqrt{b}-4)$. Область допустимых значений: $b \ge 0, b \neq 16$. В результате получаем $\sqrt{b}-4$.

Ответ: $\sqrt{b}-4$.