Номер 17.24, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.24, страница 147.

Условие.

17.24. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} $

2) $ \frac{19}{2\sqrt{5}-1} $

3) $ \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $

4) $ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $

Решение.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $\sqrt{2}+1$ является $\sqrt{2}-1$. При умножении знаменателя на сопряженное выражение используется формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2-1} = \frac{2-\sqrt{2}}{1} = 2-\sqrt{2}$.
Ответ: $2-\sqrt{2}$.

2) Для дроби $\frac{19}{2\sqrt{5}-1}$ сопряженным выражением к знаменателю $2\sqrt{5}-1$ является $2\sqrt{5}+1$. Умножим на него числитель и знаменатель дроби.
$\frac{19}{2\sqrt{5}-1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{4 \cdot 5 - 1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{20-1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{19}$.
Сократив дробь на 19, получаем $2\sqrt{5}+1$.
Ответ: $2\sqrt{5}+1$.

3) В общем случае для дроби $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ сопряженным к знаменателю является выражение $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.
$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{1(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.
Это преобразование справедливо при условиях $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.

4) Для дроби $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ сопряженным к знаменателю $\sqrt{3}-1$ является выражение $\sqrt{3}+1$. Умножим числитель и знаменатель на него.
$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$.
Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, а в знаменателе применим формулу разности квадратов:
$\frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь: $\frac{2(2+\sqrt{3})}{2} = 2+\sqrt{3}$.
Ответ: $2+\sqrt{3}$.