Номер 17.26, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.26, страница 147.

Условие.

17.26. Докажите равенство:

1) $ \frac{2}{3\sqrt{2}+4} - \frac{2}{3\sqrt{2}-4} = -8 $

2) $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+4}+2} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+4}-2} = -4 $

Решение.

1)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Необходимо вычесть две дроби. Для этого приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей представляют собой сопряженные выражения вида $(a+b)$ и $(a-b)$, где $a = 3\sqrt{2}$ и $b = 4$. Их произведение равно разности квадратов $a^2 - b^2$.

Найдем общий знаменатель:

$(3\sqrt{2} + 4)(3\sqrt{2} - 4) = (3\sqrt{2})^2 - 4^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 16 = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2$.

Теперь выполним вычитание дробей, домножив числитель первой дроби на $(3\sqrt{2} - 4)$, а числитель второй — на $(3\sqrt{2} + 4)$:

$\frac{2}{3\sqrt{2} + 4} - \frac{2}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{2(3\sqrt{2} - 4) - 2(3\sqrt{2} + 4)}{(3\sqrt{2} + 4)(3\sqrt{2} - 4)} = \frac{2(3\sqrt{2} - 4) - 2(3\sqrt{2} + 4)}{2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6\sqrt{2} - 8 - 6\sqrt{2} - 8}{2} = \frac{(6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) + (-8 - 8)}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна $-8$, что соответствует правой части. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Преобразуем левую часть равенства. Знаменатели дробей являются сопряженными выражениями. Пусть $a = \sqrt{\sqrt{3} + 4}$ и $b = 2$. Тогда знаменатели имеют вид $(a+b)$ и $(a-b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{\sqrt{3} + 4} + 2)(\sqrt{\sqrt{3} + 4} - 2) = (\sqrt{\sqrt{3} + 4})^2 - 2^2 = (\sqrt{3} + 4) - 4 = \sqrt{3}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 4} + 2} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 4} - 2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{\sqrt{3} + 4} - 2) - \sqrt{3}(\sqrt{\sqrt{3} + 4} + 2)}{(\sqrt{\sqrt{3} + 4} + 2)(\sqrt{\sqrt{3} + 4} - 2)}$

Подставим вычисленный ранее знаменатель и раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{3}\sqrt{\sqrt{3} + 4} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{\sqrt{3} + 4} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(\sqrt{3}\sqrt{\sqrt{3} + 4} - \sqrt{3}\sqrt{\sqrt{3} + 4}) + (-2\sqrt{3} - 2\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{-4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Сократим дробь на $\sqrt{3}$:

$\frac{-4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -4$

Левая часть равенства равна $-4$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.