Номер 17.21, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.21, страница 146.

Условие.

17.21. Упростите выражение:

1) $ (\sqrt{5} - 2)^2 - (3 + \sqrt{5})^2 $;

2) $ \sqrt{17 - 4} \cdot \sqrt{17 + 4} $;

3) $ (7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^2 $;

4) $ (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}})^2 $.

Решение.

1)

Раскроем каждую скобку в выражении $(\sqrt{5}-2)^2 - (3+\sqrt{5})^2$, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для первой скобки: $(\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$.

Для второй скобки: $(3+\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:

$(9 - 4\sqrt{5}) - (14 + 6\sqrt{5}) = 9 - 4\sqrt{5} - 14 - 6\sqrt{5} = (9 - 14) + (-4\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) = -5 - 10\sqrt{5}$.

Ответ: $-5 - 10\sqrt{5}$

2)

Для выражения $\sqrt{\sqrt{17}-4} \cdot \sqrt{\sqrt{17}+4}$ используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{\sqrt{17}-4} \cdot \sqrt{\sqrt{17}+4} = \sqrt{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}$.

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\sqrt{(\sqrt{17})^2 - 4^2} = \sqrt{17 - 16} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$

3)

В выражении $(7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^2$ сначала упростим второй множитель, возведя его в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(7+4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})$.

Это выражение является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Ответ: $1$

4)

Для упрощения выражения $(\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{6+2\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{6-2\sqrt{5}}$.

Найдём квадраты $a$ и $b$:

$a^2 = (\sqrt{6+2\sqrt{5}})^2 = 6+2\sqrt{5}$.

$b^2 = (\sqrt{6-2\sqrt{5}})^2 = 6-2\sqrt{5}$.

Теперь найдём удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{6+2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6-2\sqrt{5}} = 2 \cdot \sqrt{(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}$.

Выражение под внутренним корнем является разностью квадратов:

$2 \cdot \sqrt{6^2 - (2\sqrt{5})^2} = 2 \cdot \sqrt{36 - (4 \cdot 5)} = 2 \cdot \sqrt{36 - 20} = 2 \cdot \sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$.

Подставим все найденные значения в исходную формулу $a^2 - 2ab + b^2$:

$(6+2\sqrt{5}) - 8 + (6-2\sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{5} - 8 + 6 - 2\sqrt{5}$.

Приводя подобные слагаемые, получаем: $(6 - 8 + 6) + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = 4$.

Ответ: $4$