Номер 17.18, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.18, страница 146.

Условие.

17.18. Упростите выражение:

1) $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162};$

2) $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a};$

3) $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c}.$

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162}$, необходимо привести все слагаемые к общему виду, вынеся множители из-под знака корня.
Разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$
$\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{9^2 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$
Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:
$3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162} = 3 \cdot (2\sqrt{2}) + 8\sqrt{2} - \frac{1}{3} \cdot (9\sqrt{2})$
Выполним умножение:
$6\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{2}$
Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$(6 + 8 - 3)\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$
Ответ: $11\sqrt{2}$

2) Упростим выражение $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a}$. Для этого вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Подразумевается, что $a \ge 0$.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$\sqrt{20a} = \sqrt{4 \cdot 5a} = \sqrt{2^2 \cdot 5a} = 2\sqrt{5a}$
$\sqrt{80a} = \sqrt{16 \cdot 5a} = \sqrt{4^2 \cdot 5a} = 4\sqrt{5a}$
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$\sqrt{5a} - 2 \cdot (2\sqrt{5a}) + 3 \cdot (4\sqrt{5a}) = \sqrt{5a} - 4\sqrt{5a} + 12\sqrt{5a}$
Приведем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{5a}$ за скобки:
$(1 - 4 + 12)\sqrt{5a} = 9\sqrt{5a}$
Ответ: $9\sqrt{5a}$

3) Упростим выражение $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c}$. Для этого вынесем множители из-под знака корня. Подразумевается, что $c \ge 0$.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 \cdot c} = \sqrt{(c^2)^2 \cdot c} = c^2\sqrt{c}$
$\sqrt{c^3} = \sqrt{c^2 \cdot c} = c\sqrt{c}$
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$c^2\sqrt{c} + 4c \cdot (c\sqrt{c}) - 5c^2\sqrt{c} = c^2\sqrt{c} + 4c^2\sqrt{c} - 5c^2\sqrt{c}$
Приведем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $c^2\sqrt{c}$ за скобки:
$(1 + 4 - 5)c^2\sqrt{c} = 0 \cdot c^2\sqrt{c} = 0$
Ответ: $0$