Номер 17.13, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.13, страница 145.

Условие.

17.13. Освободите знаменатель дроби от иррациональности:

1) $\frac{a}{\sqrt{11}};$

2) $\frac{5}{\sqrt{10}};$

3) $\frac{30}{\sqrt{15}};$

4) $\frac{2}{3\sqrt{x}}.$

Решение.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{\sqrt{11}}$, нужно домножить числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{11}$. Это не изменит значение дроби, так как мы, по сути, умножаем ее на 1 ($\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = 1$).

$\frac{a}{\sqrt{11}} = \frac{a \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{a\sqrt{11}}{(\sqrt{11})^2} = \frac{a\sqrt{11}}{11}$

В знаменателе получилось рациональное число 11.

Ответ: $\frac{a\sqrt{11}}{11}$.

2) Для дроби $\frac{5}{\sqrt{10}}$ применим тот же метод. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$.

$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10}$

Полученную дробь можно сократить на 5:

$\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Теперь в знаменателе находится рациональное число 2.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

3) Для дроби $\frac{30}{\sqrt{15}}$ домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$.

$\frac{30}{\sqrt{15}} = \frac{30 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{30\sqrt{15}}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$\frac{30\sqrt{15}}{15} = 2\sqrt{15}$

Знаменатель стал равен 1, что является рациональным числом.

Ответ: $2\sqrt{15}$.

4) В знаменателе дроби $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ находится кубический корень. Чтобы от него избавиться, нужно домножить знаменатель на такое выражение, чтобы подкоренное выражение стало кубом некоторого числа или переменной. У нас под корнем $x$, то есть $x^1$. Чтобы получить $x^3$, нужно домножить на $x^2$. Следовательно, домножать будем на $\sqrt[3]{x^2}$.

$\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}} = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x \cdot x^2}} = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x^3}} = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{3x}$

Теперь в знаменателе стоит выражение $3x$, которое не содержит знака корня. Данное преобразование имеет смысл при $x \neq 0$.

Ответ: $\frac{2\sqrt[3]{x^2}}{3x}$.