Номер 17.16, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.16, страница 146.

Условие.

17.16. Сократите дробь:

1) $ \frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}} $;

2) $ \frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3} $;

3) $ \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $;

4) $ \frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b} $;

5) $ \frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}} $;

6) $ \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} $;

7) $ \frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}} $;

8) $ \frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $.

Решение.

1) Для сокращения дроби $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}}$ воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ в числителе.
Представим $7$ как $(\sqrt{7})^2$. Тогда числитель примет вид $a^2 - (\sqrt{7})^2$.
Разложим числитель на множители: $a^2 - 7 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})$.
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a + \sqrt{7}}$
Сократим общий множитель $(a + \sqrt{7})$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $a - \sqrt{7}$.
Ответ: $a - \sqrt{7}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3}$, применим формулу разности квадратов к числителю. Для этого представим $c$ как $(\sqrt{c})^2$ и $9$ как $3^2$.
$c - 9 = (\sqrt{c})^2 - 3^2 = (\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)$.
Подставим в исходную дробь:
$\frac{(\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)}{\sqrt{c} - 3}$
Сократим одинаковый множитель $(\sqrt{c} - 3)$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\sqrt{c} + 3$.
Ответ: $\sqrt{c} + 3$.

3) Для сокращения дроби $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ представим числитель $a - b$ как разность квадратов. Для этого запишем $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.
$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Получаем: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

4) В дроби $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b}$ применим формулу разности квадратов к знаменателю.
Представим $25a$ как $(5\sqrt{a})^2$ и $49b$ как $(7\sqrt{b})^2$.
$25a - 49b = (5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = (5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$.
Подставим в дробь:
$\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})}$
Сократим общий множитель $(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})$.
Получаем: $\frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$.

5) Для сокращения дроби $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}}$ разложим числитель на множители по формуле разности квадратов.
Представим $100a^2$ как $(10a)^2$ и $9b$ как $(3\sqrt{b})^2$.
$100a^2 - 9b = (10a)^2 - (3\sqrt{b})^2 = (10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})}{10a + 3\sqrt{b}}$
Сократим общий множитель $(10a + 3\sqrt{b})$.
Получаем: $10a - 3\sqrt{b}$.
Ответ: $10a - 3\sqrt{b}$.

6) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$ вынесем общий множитель в знаменателе.
Представим $\sqrt{6}$ как $\sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2}\sqrt{3}$.
Знаменатель примет вид: $\sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3}$.
Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{2} - 1)$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

7) В дроби $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $\sqrt{3}$:
$\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
В знаменателе представим $5$ как $(\sqrt{5})^2$ и $\sqrt{10}$ как $\sqrt{5}\sqrt{2}$, затем вынесем общий множитель $\sqrt{5}$:
$5 - \sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5}\sqrt{2} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Получаем: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$.

8) Числитель дроби $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$, $b$ как $(\sqrt{b})^2$ и $2\sqrt{ab}$ как $2\sqrt{a}\sqrt{b}$.
Тогда числитель: $a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Сократим дробь на $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Получаем: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.