Номер 17.14, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.14, страница 145.

Условие.

17.14. Разложите на множители выражение:

1) $4b^2 - 2$;

2) $5 - 6c^2$;

3) $a - 9$, если $a \ge 0$;

4) $m - n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

5) $a - 2\sqrt{a} + 1$;

6) $4m - 28\sqrt{mn} + 49n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

7) $3 + 2\sqrt{3c} + c$;

8) $6\sqrt{7} - 7$;

9) $a - \sqrt{a}$;

10) $\sqrt{15} - \sqrt{5}$.

Решение.

1) $4b^2 - 2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$4b^2 - 2 = 2(2b^2 - 1)$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Для этого представим $2b^2$ как $(\sqrt{2}b)^2$ и $1$ как $1^2$:
$2(2b^2 - 1) = 2((\sqrt{2}b)^2 - 1^2) = 2(\sqrt{2}b - 1)(\sqrt{2}b + 1)$
Ответ: $2(\sqrt{2}b - 1)(\sqrt{2}b + 1)$.

2) $5 - 6c^2$
Представим выражение в виде разности квадратов. Для этого запишем $5$ как $(\sqrt{5})^2$ и $6c^2$ как $(\sqrt{6}c)^2$:
$5 - 6c^2 = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}c)^2$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}c)^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{6}c)(\sqrt{5} + \sqrt{6}c)$
Ответ: $(\sqrt{5} - \sqrt{6}c)(\sqrt{5} + \sqrt{6}c)$.

3) $a - 9$, если $a \ge 0$
Поскольку $a \ge 0$, мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$. Число 9 можно представить как $3^2$.
$a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2$
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$
Ответ: $(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.

4) $m - n$, если $m \ge 0, n \ge 0$
Поскольку $m \ge 0$ и $n \ge 0$, мы можем представить $m$ как $(\sqrt{m})^2$ и $n$ как $(\sqrt{n})^2$.
$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$
Ответ: $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.

5) $a - 2\sqrt{a} + 1$
Это выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $1$ как $1^2$. Тогда выражение примет вид:
$(\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2$
Это соответствует формуле при $x = \sqrt{a}$ и $y = 1$.
$(\sqrt{a} - 1)^2$
Ответ: $(\sqrt{a} - 1)^2$.

6) $4m - 28\sqrt{mn} + 49n$, если $m \ge 0, n \ge 0$
Данное выражение является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим $4m$ как $(2\sqrt{m})^2$ и $49n$ как $(7\sqrt{n})^2$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (2\sqrt{m}) \cdot (7\sqrt{n}) = 28\sqrt{mn}$.
Таким образом, выражение можно записать как:
$(2\sqrt{m})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{m}) \cdot (7\sqrt{n}) + (7\sqrt{n})^2 = (2\sqrt{m} - 7\sqrt{n})^2$
Ответ: $(2\sqrt{m} - 7\sqrt{n})^2$.

7) $3 + 2\sqrt{3c} + c$
Это выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$ и $c$ как $(\sqrt{c})^2$ (подразумевается, что $c \ge 0$).
Выражение примет вид:
$(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{c} + (\sqrt{c})^2$
Это соответствует формуле при $x = \sqrt{3}$ и $y = \sqrt{c}$.
$(\sqrt{3} + \sqrt{c})^2$
Ответ: $(\sqrt{3} + \sqrt{c})^2$.

8) $6\sqrt{7} - 7$
Представим $7$ как $(\sqrt{7})^2$:
$6\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2$
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:
$\sqrt{7}(6 - \sqrt{7})$
Ответ: $\sqrt{7}(6 - \sqrt{7})$.

9) $a - \sqrt{a}$
Представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ (подразумевается, что $a \ge 0$):
$(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$.

10) $\sqrt{15} - \sqrt{5}$
Представим $\sqrt{15}$ как произведение корней: $\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt{5}$.
$\sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{5}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки:
$\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)$
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)$.