Номер 17.11, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.11, страница 145.

Условие.

17.11. Найдите значение выражения:

1) $ (3 + \sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5}; $

2) $ (\sqrt{12} - 2\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{6}. $

Решение.

1) $(3+\sqrt{5})^2-6\sqrt{5}$

Чтобы найти значение выражения, сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

В данном случае $a=3$ и $b=\sqrt{5}$.

$(3+\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(14 + 6\sqrt{5}) - 6\sqrt{5}$.

Приводим подобные слагаемые:

$14 + 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 14$.

Ответ: 14

2) $(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2+8\sqrt{6}$

Сначала упростим корень из 12, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь выражение выглядит так: $(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})^2+8\sqrt{6}$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a=2\sqrt{3}$ и $b=2\sqrt{2}$.

$(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2$.

Вычислим каждый член:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

$2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2}) = 8\sqrt{3 \cdot 2} = 8\sqrt{6}$.

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Соберем все вместе: $12 - 8\sqrt{6} + 8 = 20 - 8\sqrt{6}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(20 - 8\sqrt{6}) + 8\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 8\sqrt{6} = 20$.

Ответ: 20