Номер 17.23, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.23, страница 146.

Условие.

17.23. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}$;

2) $\frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3}$;

3) $\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8}$.

Решение.

1) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}$

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители. Заметим, что знаменатель является суммой кубов, так как $\sqrt{a^3} = (\sqrt{a})^3$ и $\sqrt{b^3} = (\sqrt{b})^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Пусть $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Тогда знаменатель можно записать в виде:

$\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$

Ответ: $\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$

2) $\frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3}$

Для сокращения дроби разложим числитель на множители. Заметим, что числитель является разностью кубов, так как $m\sqrt{m} = (\sqrt{m})^2 \cdot \sqrt{m} = (\sqrt{m})^3$ и $27 = 3^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Пусть $x = \sqrt{m}$ и $y = 3$. Тогда числитель можно записать в виде:

$m\sqrt{m} - 27 = (\sqrt{m})^3 - 3^3 = (\sqrt{m} - 3)((\sqrt{m})^2 + \sqrt{m} \cdot 3 + 3^2) = (\sqrt{m} - 3)(m + 3\sqrt{m} + 9)$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt{m} - 3)(m + 3\sqrt{m} + 9)}{\sqrt{m} - 3}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{m} - 3)$ в числителе и знаменателе:

$m + 3\sqrt{m} + 9$

Ответ: $m + 3\sqrt{m} + 9$

3) $\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8}$

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители. Заметим, что знаменатель является суммой кубов, так как $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $8 = 2^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Пусть $x = \sqrt{a}$ и $y = 2$. Тогда знаменатель можно записать в виде:

$a\sqrt{a} + 8 = (\sqrt{a})^3 + 2^3 = (\sqrt{a} + 2)((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2) = (\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)}$

Сократим общий множитель $(a - 2\sqrt{a} + 4)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{a} + 2}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + 2}$