Номер 17.25, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.25, страница 147.

Условие.

17.25. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}$;

2) $\frac{8}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$;

3) $\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$;

4) $\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$.

Решение.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Для выражения вида $a-b$ сопряженным является $a+b$, и наоборот. При умножении таких выражений используется формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1) $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} $

Знаменатель равен $ \sqrt{5}-2 $. Сопряженное ему выражение — $ \sqrt{5}+2 $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{5+2\sqrt{5}}{5-4} = \frac{5+2\sqrt{5}}{1} = 5+2\sqrt{5} $

Ответ: $ 5+2\sqrt{5} $

2) $ \frac{8}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} $

Сопряженное выражение для знаменателя $ \sqrt{10}-\sqrt{2} $ — это $ \sqrt{10}+\sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель на него:

$ \frac{8}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{10}+\sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{10-2} = \frac{8(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{8} = \sqrt{10}+\sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{10}+\sqrt{2} $

3) $ \frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $

Сопряженное выражение для знаменателя $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $ — это $ \sqrt{x}-\sqrt{y} $. Умножим числитель и знаменатель на него (при условии, что $x \ge 0, y \ge 0, x \neq y$):

$ \frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{9(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{9(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{9(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y} $

Ответ: $ \frac{9(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y} $

4) $ \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} $

Сопряженное выражение для знаменателя $ 2+\sqrt{2} $ — это $ 2-\sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель на него:

$ \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{(2-\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} $

Раскроем числитель по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и вычислим знаменатель:

$ \frac{2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4 - 2} = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} $

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{6}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2} $

Ответ: $ 3 - 2\sqrt{2} $