Номер 17.32, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.32, страница 148.

Условие.

17.32. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{3}$;

2) $b\sqrt{-b}$;

3) $c\sqrt{c^5}$;

4) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$;

5) $xy^2\sqrt{xy}$, если $x \le 0$;

6) $(x-1)\sqrt{\frac{1}{x^2-2x+1}}$, если $x < 1$;

7) $(m+1)\sqrt{\frac{1}{m+1}};$

8) $(2-c)\sqrt{\frac{1}{2c-4}};$

9) $(-x-y)\sqrt{\frac{2}{x+y}};$

10) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если $a \ge 0$.

Решение.

1) Чтобы внести множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{3}$, необходимо учесть знак множителя $a$.
- Если $a \ge 0$, то множитель является неотрицательным, и мы вносим его под корень, возведя в квадрат:
$a\sqrt{3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$.
- Если $a < 0$, то множитель является отрицательным. В этом случае мы представляем $a$ как $-(-a)$, где $-a > 0$. Перед корнем оставляем знак минус, а под корень вносим положительное число $-a$:
$a\sqrt{3} = -(-a)\sqrt{3} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 3} = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$.
Ответ: $\sqrt{3a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{3a^2}$, если $a < 0$.

2) В выражении $b\sqrt{-b}$ подкоренное выражение $-b$ должно быть неотрицательным, то есть $-b \ge 0$, что эквивалентно $b \le 0$.
Следовательно, множитель $b$ является неположительным. При внесении неположительного множителя под знак корня, перед корнем ставится знак минус (если множитель не равен нулю), а под корень вносится квадрат этого множителя.
$b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b)} = -\sqrt{-b^3}$.
Это верно для всех $b \le 0$.
Ответ: $-\sqrt{-b^3}$.

3) В выражении $c\sqrt{c^5}$ подкоренное выражение $c^5$ должно быть неотрицательным, то есть $c^5 \ge 0$, что эквивалентно $c \ge 0$.
Поскольку множитель $c$ неотрицателен, мы вносим его под знак корня, возведя в квадрат:
$c\sqrt{c^5} = \sqrt{c^2 \cdot c^5} = \sqrt{c^{2+5}} = \sqrt{c^7}$.
Ответ: $\sqrt{c^7}$.

4) В выражении $m\sqrt{n}$ дано условие, что $m \ge 0$.
Так как множитель $m$ неотрицателен, мы вносим его под знак корня, возведя в квадрат:
$m\sqrt{n} = \sqrt{m^2 \cdot n} = \sqrt{m^2n}$.
Ответ: $\sqrt{m^2n}$.

5) В выражении $xy^2\sqrt{xy}$ дано условие $x \le 0$.
Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение $xy$ должно быть неотрицательным: $xy \ge 0$. Так как $x \le 0$, это условие выполняется, если $y \le 0$ (или в случаях, когда $x=0$ или $y=0$).
Определим знак множителя $xy^2$. Поскольку $x \le 0$ и $y^2 \ge 0$, их произведение $xy^2 \le 0$.
Так как множитель неположительный, при внесении его под знак корня перед корнем ставится знак минус:
$xy^2\sqrt{xy} = -\sqrt{(xy^2)^2 \cdot xy} = -\sqrt{x^2 (y^2)^2 \cdot xy} = -\sqrt{x^2 y^4 \cdot xy} = -\sqrt{x^3y^5}$.
Ответ: $-\sqrt{x^3y^5}$.

6) В выражении $(x-1)\sqrt{\frac{1}{x^2-2x+1}}$ дано условие $x < 1$.
Упростим выражение под корнем: $x^2-2x+1 = (x-1)^2$. Корень определен при $x \ne 1$.
Определим знак множителя $x-1$. По условию $x < 1$, следовательно $x-1 < 0$.
Так как множитель отрицательный, при внесении его под знак корня перед корнем ставится знак минус:
$(x-1)\sqrt{\frac{1}{(x-1)^2}} = -\sqrt{(x-1)^2 \cdot \frac{1}{(x-1)^2}} = -\sqrt{\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2}} = -\sqrt{1}$.
Ответ: $-\sqrt{1}$.

7) В выражении $(m+1)\sqrt{\frac{1}{m+1}}$ подкоренное выражение должно быть положительным, то есть $\frac{1}{m+1} > 0$, откуда $m+1 > 0$.
Следовательно, множитель $m+1$ является положительным. Вносим его под корень, возводя в квадрат:
$(m+1)\sqrt{\frac{1}{m+1}} = \sqrt{(m+1)^2 \cdot \frac{1}{m+1}} = \sqrt{\frac{(m+1)^2}{m+1}} = \sqrt{m+1}$.
Ответ: $\sqrt{m+1}$.

8) В выражении $(2-c)\sqrt{\frac{1}{2c-4}}$ подкоренное выражение должно быть положительным, то есть $\frac{1}{2c-4} > 0$, откуда $2c-4 > 0$, что означает $c > 2$.
Определим знак множителя $2-c$. Так как $c > 2$, то $2-c < 0$.
Множитель является отрицательным, поэтому при внесении его под корень перед корнем ставится знак минус:
$(2-c)\sqrt{\frac{1}{2c-4}} = -\sqrt{(2-c)^2 \cdot \frac{1}{2c-4}} = -\sqrt{(c-2)^2 \cdot \frac{1}{2(c-2)}} = -\sqrt{\frac{(c-2)^2}{2(c-2)}} = -\sqrt{\frac{c-2}{2}}$.
Ответ: $-\sqrt{\frac{c-2}{2}}$.

9) В выражении $(-x-y)\sqrt{\frac{2}{x+y}}$ подкоренное выражение должно быть положительным: $\frac{2}{x+y} > 0$, откуда $x+y > 0$.
Множитель $(-x-y)$ можно записать как $-(x+y)$. Так как $x+y > 0$, то множитель $-(x+y)$ является отрицательным.
При внесении отрицательного множителя под корень, перед корнем ставится знак минус:
$-(x+y)\sqrt{\frac{2}{x+y}} = -\sqrt{(-(x+y))^2 \cdot \frac{2}{x+y}} = -\sqrt{(x+y)^2 \cdot \frac{2}{x+y}} = -\sqrt{2(x+y)}$.
Ответ: $-\sqrt{2(x+y)}$.

10) В выражении $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$ дано условие $a \ge 0$.
Подкоренное выражение $\frac{a}{b}$ должно быть неотрицательным. Так как $a \ge 0$ и $b \ne 0$, это возможно только при $b > 0$ (если $a>0$) или $a=0$.
Определим знак множителя $ab^2$. Поскольку $a \ge 0$ и $b^2 > 0$ (так как $b \ne 0$), множитель $ab^2$ является неотрицательным.
Вносим неотрицательный множитель под корень, возводя его в квадрат:
$ab^2\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{(ab^2)^2 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{a^2(b^2)^2 \frac{a}{b}} = \sqrt{a^2b^4 \frac{a}{b}} = \sqrt{a^3b^3}$.
Ответ: $\sqrt{a^3b^3}$.