Номер 17.39, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.39, страница 150.

Условие.

17.39. Докажите, что:

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91}-1}{2}$

Решение.

Для доказательства данного равенства преобразуем каждое слагаемое в левой части. Основная идея — избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Общий вид слагаемого в сумме: $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$. Умножим его на $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части доказываемого равенства. Заметим, что для каждого слагаемого вида $\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$ разность $a-b$ в знаменателе будет равна $(n+2)-n=2$.

Первое слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Второе слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

Третье слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

...

Последнее слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{91-89} = \frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{2}$

Теперь просуммируем все полученные дроби. Обозначим исходную сумму как $S$:

$S = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$S = \frac{1}{2} \left( (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{91}-\sqrt{89}) \right)$

Внутри скобок мы получили так называемую телескопическую сумму. Раскроем внутренние скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть сокращения:

$S = \frac{1}{2} ( -1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \dots - \sqrt{89} + \sqrt{91} )$

Все промежуточные слагаемые с корнями взаимно уничтожаются ($\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$, и так далее). Остаются только первое слагаемое ($-1$) и последнее ($\sqrt{91}$).

$S = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt{91}) = \frac{\sqrt{91}-1}{2}$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного выражения равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.