Номер 17.42, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.42, страница 150.

Условие.

17.42. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}$;

2) $\sqrt{3+\sqrt{8}}-\sqrt{3-\sqrt{8}}$.

Решение.

1) $ \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}} $

Для упрощения этого выражения начнем с самого внутреннего корня $ \sqrt{29-12\sqrt{5}} $. Попытаемся представить подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Мы ищем такие $ a $ и $ b $, что $ a^2+b^2=29 $ и $ 2ab = 12\sqrt{5} $. Из второго уравнения получаем $ ab = 6\sqrt{5} $. Подберем $ a $ и $ b $. Пусть $ a=3 $ и $ b=2\sqrt{5} $. Проверим сумму квадратов: $ a^2+b^2 = 3^2 + (2\sqrt{5})^2 = 9 + 4 \cdot 5 = 9+20=29 $. Условия выполняются.

Таким образом, $ 29-12\sqrt{5} = (3-2\sqrt{5})^2 $. Однако, поскольку $ 3 = \sqrt{9} $, а $ 2\sqrt{5} = \sqrt{20} $, то $ 3 < 2\sqrt{5} $, и $ 3-2\sqrt{5} $ является отрицательным числом. Чтобы корень был определен как положительное значение, мы должны записать $ 29-12\sqrt{5} = (2\sqrt{5}-3)^2 $.

Тогда $ \sqrt{29-12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2} = |2\sqrt{5}-3| = 2\sqrt{5}-3 $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-(2\sqrt{5}-3)}} = \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}} = \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}} $.

Снова упростим внутренний корень $ \sqrt{6-2\sqrt{5}} $, используя тот же метод. Ищем $ a $ и $ b $ такие, что $ a^2+b^2=6 $ и $ 2ab=2\sqrt{5} $. Из второго уравнения $ ab = \sqrt{5} $. Пусть $ a=\sqrt{5} $ и $ b=1 $. Проверим: $ a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5+1=6 $. Это верно.

Следовательно, $ 6-2\sqrt{5} = (\sqrt{5}-1)^2 $. Так как $ \sqrt{5}>1 $, разность $ \sqrt{5}-1 $ положительна.

$ \sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = \sqrt{5}-1 $.

Подставляем это значение в выражение:

$ \sqrt{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)} = \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1} = \sqrt{1} = 1 $.

Ответ: $1$.

2) $ \sqrt{3+\sqrt{8}} - \sqrt{3-\sqrt{8}} $

Сначала упростим подкоренные выражения. Заметим, что $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $. Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$ \sqrt{3+2\sqrt{2}} - \sqrt{3-2\sqrt{2}} $

Теперь упростим каждый из корней, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов. Для $ \sqrt{3+2\sqrt{2}} $ ищем квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

Из $ 2ab = 2\sqrt{2} $ следует $ ab = \sqrt{2} $. Подходят значения $ a=\sqrt{2} $ и $ b=1 $. Проверим сумму квадратов: $ a^2+b^2 = (\sqrt{2})^2+1^2 = 2+1=3 $. Это верно.

Таким образом, $ 3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2 $, и первый корень равен:

$ \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1 $.

Аналогично для второго корня $ \sqrt{3-2\sqrt{2}} $, ищем квадрат разности $ (a-b)^2 $ с теми же $ a $ и $ b $:

$ 3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 $.

Поскольку $ \sqrt{2} > 1 $, выражение $ \sqrt{2}-1 $ положительно. Тогда второй корень равен:

$ \sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1 $.

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$ (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1 = 2 $.

Ответ: $2$.