Номер 17.37, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.37, страница 149.

Условие.

17.37. Упростите выражение:

1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}};$

2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}};$

3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}};$

4) $\sqrt{6-2\sqrt{5}};$

5) $\sqrt{18+2\sqrt{45}};$

6) $\sqrt{91-40\sqrt{3}}.$

Решение.

Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ используется метод выделения полного квадрата под знаком корня. Идея состоит в том, чтобы представить подкоренное выражение в виде $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Для этого выражение под корнем приводят к виду $X \pm 2\sqrt{Y}$. Затем ищут два числа $m$ и $n$ такие, что $m+n=X$ и $m \cdot n=Y$. В этом случае исходное выражение преобразуется в $\sqrt{(\sqrt{m} \pm \sqrt{n})^2} = |\sqrt{m} \pm \sqrt{n}|$.

1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$

Подкоренное выражение имеет вид $X+2\sqrt{Y}$, где $X=8$ и $Y=7$.

Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 7. Это числа 7 и 1, так как $7+1=8$ и $7 \cdot 1=7$.

Следовательно, можем записать:

$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(7+1)+2\sqrt{7 \cdot 1}} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\cdot 1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$.

Ответ: $1+\sqrt{7}$.

2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$

Сначала приведем выражение к виду $\sqrt{X+2\sqrt{Y}}$. Для этого преобразуем $6\sqrt{6}$:

$6\sqrt{6} = 2 \cdot 3\sqrt{6} = 2\sqrt{3^2 \cdot 6} = 2\sqrt{9 \cdot 6} = 2\sqrt{54}$.

Получаем выражение $\sqrt{15+2\sqrt{54}}$. Здесь $X=15$, $Y=54$.

Ищем два числа, сумма которых равна 15, а произведение 54. Это числа 9 и 6 ($9+6=15$, $9 \cdot 6=54$).

Тогда:

$\sqrt{15+2\sqrt{54}} = \sqrt{9+6+2\sqrt{9 \cdot 6}} = \sqrt{(\sqrt{9}+\sqrt{6})^2} = \sqrt{9}+\sqrt{6} = 3+\sqrt{6}$.

Ответ: $3+\sqrt{6}$.

3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

Здесь $X=7$, $Y=10$.

Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение 10. Это числа 5 и 2 ($5+2=7$, $5 \cdot 2=10$).

Следовательно:

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5 \cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

4) $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$

Здесь $X=6$, $Y=5$.

Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение 5. Это числа 5 и 1 ($5+1=6$, $5 \cdot 1=5$).

Следовательно:

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5+1-2\sqrt{5 \cdot 1}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{1})^2} = |\sqrt{5}-1|$.

Так как $\sqrt{5} > 1$, то $|\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1$.

Ответ: $\sqrt{5}-1$.

5) $\sqrt{18+2\sqrt{45}}$

Здесь $X=18$, $Y=45$.

Ищем два числа, сумма которых равна 18, а произведение 45. Это числа 15 и 3 ($15+3=18$, $15 \cdot 3=45$).

Следовательно:

$\sqrt{18+2\sqrt{45}} = \sqrt{15+3+2\sqrt{15 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{15}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{15}+\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{15}+\sqrt{3}$.

6) $\sqrt{91-40\sqrt{3}}$

Сначала приведем выражение к виду $\sqrt{X-2\sqrt{Y}}$. Для этого преобразуем $40\sqrt{3}$:

$40\sqrt{3} = 2 \cdot 20\sqrt{3} = 2\sqrt{20^2 \cdot 3} = 2\sqrt{400 \cdot 3} = 2\sqrt{1200}$.

Получаем выражение $\sqrt{91-2\sqrt{1200}}$. Здесь $X=91$, $Y=1200$.

Ищем два числа, сумма которых равна 91, а произведение 1200. Это числа 75 и 16 ($75+16=91$, $75 \cdot 16=1200$).

Тогда:

$\sqrt{91-2\sqrt{1200}} = \sqrt{75+16-2\sqrt{75 \cdot 16}} = \sqrt{(\sqrt{75}-\sqrt{16})^2} = |\sqrt{75}-\sqrt{16}|$.

Упростим корни: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ и $\sqrt{16}=4$.

Так как $5\sqrt{3} = \sqrt{75}$, а $4 = \sqrt{16}$, и $75 > 16$, то $\sqrt{75} > \sqrt{16}$. Значит, $|\sqrt{75}-\sqrt{16}| = \sqrt{75}-\sqrt{16} = 5\sqrt{3}-4$.

Ответ: $5\sqrt{3}-4$.