Номер 17.36, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.36, страница 149.

Условие.

17.36. Упростите выражение:

1) $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$;

4) $\sqrt{10-2\sqrt{21}}$;

5) $\sqrt{37-5\sqrt{48}}$;

6) $\sqrt{28-\sqrt{108}}$.

Решение.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Представим подкоренное выражение $3 + 2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата. Нам нужно найти два числа, сумма квадратов которых равна 3, а их удвоенное произведение равно $2\sqrt{2}$.
Пусть подкоренное выражение равно $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$.
Тогда $x + y = 3$ и $xy = 2$.
По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 1$.
Следовательно, $3 + 2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Таким образом, $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1$.
Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

2) Упростим выражение $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$.
Сначала приведем подкоренное выражение к виду $A + 2\sqrt{B}$.
$7 + 4\sqrt{3} = 7 + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 7 + 2\sqrt{2^2 \cdot 3} = 7 + 2\sqrt{12}$.
Теперь ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 12. Это числа 4 и 3.
Тогда $7 + 2\sqrt{12} = 4 + 3 + 2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$.
Следовательно, $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}$.
Подкоренное выражение уже имеет вид $A + 2\sqrt{B}$.
Ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 30. Это числа 6 и 5.
Тогда $11 + 2\sqrt{30} = 6 + 5 + 2\sqrt{6 \cdot 5} = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{5} = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2$.
Следовательно, $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2} = |\sqrt{6} + \sqrt{5}| = \sqrt{6} + \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{6} + \sqrt{5}$.

4) Упростим выражение $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$.
Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Ищем два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 21. Это числа 7 и 3.
Тогда $10 - 2\sqrt{21} = 7 + 3 - 2\sqrt{7 \cdot 3} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} = (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$.
Следовательно, $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{7} - \sqrt{3}|$.
Так как $\sqrt{7} > \sqrt{3}$, то $\sqrt{7} - \sqrt{3} > 0$, поэтому модуль можно опустить.
Результат: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

5) Упростим выражение $\sqrt{37 - 5\sqrt{48}}$.
Сначала преобразуем подкоренное выражение, чтобы получить удвоенное произведение.
$5\sqrt{48} = 5\sqrt{16 \cdot 3} = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.
Выражение принимает вид $\sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$.
Теперь представим $20\sqrt{3}$ в виде $2\sqrt{k}$: $20\sqrt{3} = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 2\sqrt{100 \cdot 3} = 2\sqrt{300}$.
Получаем $\sqrt{37 - 2\sqrt{300}}$.
Ищем два числа, сумма которых равна 37, а произведение равно 300. Это числа 25 и 12 ($25+12=37$, $25 \cdot 12=300$).
Тогда $37 - 2\sqrt{300} = 25 + 12 - 2\sqrt{25 \cdot 12} = (\sqrt{25})^2 + (\sqrt{12})^2 - 2\sqrt{25}\sqrt{12} = (5 - \sqrt{12})^2$.
Упростим $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Получаем $(5 - 2\sqrt{3})^2$.
Следовательно, $\sqrt{37 - 5\sqrt{48}} = \sqrt{(5 - 2\sqrt{3})^2} = |5 - 2\sqrt{3}|$.
Так как $5 = \sqrt{25}$ и $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$, то $5 > 2\sqrt{3}$, поэтому $5 - 2\sqrt{3} > 0$.
Результат: $5 - 2\sqrt{3}$.
Ответ: $5 - 2\sqrt{3}$.

6) Упростим выражение $\sqrt{28 - \sqrt{108}}$.
Сначала упростим внутренний корень и приведем выражение к виду с удвоенным произведением.
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.
Выражение принимает вид $\sqrt{28 - 6\sqrt{3}}$.
Представим $6\sqrt{3}$ в виде $2\sqrt{k}$: $6\sqrt{3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2\sqrt{27}$.
Получаем $\sqrt{28 - 2\sqrt{27}}$.
Ищем два числа, сумма которых равна 28, а произведение равно 27. Это числа 27 и 1.
Тогда $28 - 2\sqrt{27} = 27 + 1 - 2\sqrt{27 \cdot 1} = (\sqrt{27})^2 + 1^2 - 2\sqrt{27} \cdot 1 = (\sqrt{27} - 1)^2$.
Упростим $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. Получаем $(3\sqrt{3} - 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{28 - \sqrt{108}} = \sqrt{(3\sqrt{3} - 1)^2} = |3\sqrt{3} - 1|$.
Так как $3\sqrt{3} = \sqrt{27} > 1$, то $3\sqrt{3} - 1 > 0$.
Результат: $3\sqrt{3} - 1$.
Ответ: $3\sqrt{3} - 1$.